1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(3)-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.4.2.3 用向量方法解决立体几何问题的综合应用 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1 引 入 思考：二面角与平面的夹角范围一样吗？ 前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题. 下面先看一道生活中的实际问题，思考如何转化为数学问题来进行解决. LOGO 2 例题讲解 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0. 01 N). 如图，设水平面的单位法向量为 ，其中每一根绳子的拉力均为 . 因为 =30°，所以 在 上的投影向量为 . 所以8根绳子拉力的合力为 又因为降落伞匀速下落，所以 ∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N. 解： LOGO 3 例题讲解 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z (1) 证明: 连接AC, 交BD于点G, 连接EG. 依题意得 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DC= 2. 解: G 因为底面ABCD是正方形, 所以点G是它的中心， 故点G的坐标为(1,1,0), 且 A(2,0,0), P(0,0,2), E(0,1,1). 即PA//EG. 而EG 平面EDB，且PA 平面EDB, 因此PA//平面EDB. LOGO 4 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 例题讲解 依题意得 B(2,2,0). ∴PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E， ∴PB⊥平面EFD. (2) 证明: B C D A P E F x y z LOGO 5 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 例题讲解 B C D A P E F x y z 已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角. 设F(x,y,z), 则 G ∴ ∠EFD=60°. (3) 解1: ∴平面CPB与平面PBD的夹角的大小为60°. LOGO 6 例题讲解 B C D A P E F x y z G (3) 解2: 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. LOGO 7 课堂练习 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D LOGO 8 课堂练习 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D E LOGO 9 课堂练习 2. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M, N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN, CM所成角的余弦值. A C D B N M E LOGO 10 例题讲解 x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L LOGO 11 课堂小结 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算, 研究点、直线、平面之间的关系 通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会．