1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 ——夹角问题 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1.4 空间向量的应用 1 引 入 1. 点到直线的距离 2. 点到平面的距离 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 问题1 空间中的角包括哪些？ 直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角 LOGO 2 探究新知 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 则 l1 l2 l1 l2 O O 1.线线角 (异面直线所成的角) 问题2 θ=< >吗？ 它们的关系是什么？ θ= 或θ=π- LOGO 3 例题讲解 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. A C D B M N LOGO 4 课堂练习 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A C B A1 C1 B1 F1 D1 x y z A LOGO 5 探究新知 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量 ，平面α的法向量为 . α A B C 问题3 θ=< >吗？ 试用数学表达式表示出它们的关系. 或θ= - θ= - 2.线面角 (直线与平面所成的角) LOGO 6 例题讲解 【例题】在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=6, AD=8, AA1=6，M是B1C1上的一 点，且B1M=2，点N在线段A1D上, A1N=5, 求AD与平面ANM所成角的正弦值. z y x A B C A1 B1 C1 D1 D N M LOGO 7 课堂练习 3.如图，在三棱锥O-ABC中，OA, OB, OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2. 求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. (P41练习3) B O C A x y z LOGO 8 课堂练习 2. PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). (P38练习2) P B C A D O F E 解: 过PC上任取一点D并作PO⊥平面APB ,则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角. 过点O作OE⊥PA, OF⊥PB, ∵ DO⊥平面APB, 则DE⊥PA, DF⊥PB. ∴△DEP≌△DFP, ∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP. ∴点O在∠APB的平分线上, 即∠OPE=30° . LOGO 9 课堂练习 2. PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). (P38练习2) 解2:如图示, 建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为1, 则 P C B A x y z O LOGO 10 探究新知 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 类似于两条异面直线所成的角，若平面α, β的法向量分别是 和 ，则平面α与平面β的夹角即为向量 和 的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 设二面角α-l-β的平面角为θ0，则有 3.面面角 (平面与平面的夹角) 问题4 右图中有几个二面角? 两个平面的夹角θ与这两个平面形成的二面角有什么关系? 相等或互补 LOGO 11 例题讲解 例8 如图 示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z LOGO 12 课堂练习 3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. (P38练习3) A C B A1 C1 B1 x y z O LOGO 13 课堂练习 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线