1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 ——距离问题 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1.4 空间向量的应用 1 引入 包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等. 1. 向量的数量积 2. 投影向量 问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？ 下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离. LOGO 2 探究新知 问题2 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点． 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 1. 空间两点之间的距离 将两点距离问题转化为求向量模长问题 2. 点到直线的距离 • • 如图，向量 在直线l上的投影向量为 ，则△APQ是直角三角形，因为A，P都是定点，所以 与 的夹角∠PAQ都是确定的. 于是可求 再利用勾股定理，可求出点P到直线l的距离PQ. LOGO 3 设 ，则向量 在直线l上的投影向量 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 探究新知 2. 点到直线的距离 直线l的方向向量为 b, 注意： （1）不必找点在直线上的垂足以及垂线段； （2）直线l上的点可任意选取，一般选取易求得坐标的特殊点； （3）直线l的方向向量可任意选取. LOGO 4 探究新知 问题3 如何求两条平行直线之间的距离? 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解. m n A • d 3. 点到平面的距离 3. 向量法. 立体几何中点到平面距离的求法： 1. 直接法； 2. 等体积法； 问题4 如图，已知平面α外一点P，如何用空间向量求点P到平面α的距离？ α Q d P • LOGO 5 探究新知 α A l Q P d 3. 点到平面的距离 问题4 如图，已知平面α的一个法向量为 ，点A∈α，点P α. 点P到平面α的距离d，能否用 与 表示d？ d是AP在直线l上的投影向量 的长度. 平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点（常选择一个特殊点）的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. LOGO 6 探究新知 问题5 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ 4. 直线到平面的距离 5. 两个平行平面之间的距离 α A l Q d P • α A Q d P • β ⟹ 点到平面的距离 LOGO 7 例题讲解 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F LOGO 8 例题讲解 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F LOGO 9 探究新知 用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； LOGO 10 探究新知 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） LOGO 11 课堂练习 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于_____；直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. x y z A1 D1 B1 D B C C1 A 1 1 1 LOGO 12 课堂练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F LOGO 13