1.4.1.3空间中直线、平面的垂直-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1.4 空间向量的应用 1 引 入 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点→点+位置向量 (2)线→点+方向向量 (3)平面→点+法向量 2.空间中直线、平面的平行 LOGO 2 探究新知 如图(1)所示，设直线l1, l2的方向向量分别为 则 问题1 类似空间中直线、平面平行的向量表示，如何用向量表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系? 1. 直线与直线垂直 直线的方向向量 平面的法向量 说明： ①两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直. ②基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直 即证两直线方向向量的数量积为0. α (1) l1 l2 追问由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？ 显然的，这两条直线的方向向量垂直. LOGO 3 例题讲解 A1 B1 C1 D1 A B C D 例1 已知正方体ABCD –A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点,｛DA，DC，DD1｝为单位正交基底建立空间直角坐标系. 求证：直线A1C⊥BC1. → → → LOGO 4 例题讲解 则由已知条件和正三棱柱的性质， 例2 如图，已知正三棱柱ABC –A1B1C1的各棱长为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN= CC1. 求证：AB1⊥MN. LOGO 5 例题讲解 例2 如图，已知正三棱柱ABC –A1B1C1的各棱长为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN= CC1. 求证：AB1⊥MN. 证（法二）设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵M为BC的中点， ∴AB1⊥MN. LOGO 6 探究新知 总结:证明线线垂直 LOGO 7 探究新知 问题2 由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢? 2. 直线与平面垂直 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 如图(2)所示， 设直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 α (2) A l B C LOGO 8 探究新知 问题3 由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 3. 平面与平面垂直 平面与平面垂直，就是两平面的法向量平行. 如图(3)所示， 设平面α, β的法向量分别为 则 α (3) β ⊂ m LOGO 9 例题讲解 例3 如图示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=AD=AA1=1，求证: 直线A1C⊥平面BDD1B1. A C D B C1 D1 B1 A1 LOGO 10 探究新知 1.基底法：用基向量表示直线所在的向量，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零； 2.判定定理法：建系，求直线方向向量的坐标，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零； 3.法向量法：建系，求直线方向向量及平面法向量的坐标，证直线方向向量与平面法向量共线. 总结:证明线面垂直方法 LOGO 11 例题讲解 例4 证明“平面与平面垂直的判定定理”: 若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知: 如图示， 求证: α⊥β. α l β LOGO 12 例题讲解 例5 如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点. 求证：平面BEF⊥平面ABC. 证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系， LOGO 13 探究新知 总结:证明面面垂直方法 1.利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 2.直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法： LOGO 14 课堂练习 1. 已知 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量. (1) 若l // α，求a, b的关系式; (2) 若l⊥α, 求a, b的值. LOGO 15 课堂练习 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1. A C D B C1 D1 B1 A1 F E ∴ 平面EAD1⊥平面EFD1. LOGO 16