1.4.1.2空间中直线、平面的平行-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.4.1.2空间中直线、平面的平行 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1.4 空间向量的应用 1 引 入 几何中 点 线 面 向量中 点+位置向量 点+方向向量 点+法向量 O P p P a A B O l A P a OP=xa+yb 点+两个不共线向量 LOGO 2 引 入 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢? 首先来看平行的问题. 问题1 由直线与直线平行的关系，如何用向量表示它们的关系？ 这两条直线的方向向量有什么关系？ LOGO 3 探究新知 如图(1)所示，设 分别是直线l1, l2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以 1.直线与直线平行 l1 l2 (1) LOGO 4 探究新知 (2) 直线与平面平行 如图(2)所示，设 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量， 则 α l (2) m 问题2 由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ LOGO 5 探究新知 3.平面与平面平行 如图(3)所示，设 分别是平面α, β的法向量，则 α (3) β P m n 问题3 由平面与平面平行的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ LOGO 6 例题讲解 例1 证明“平面与平面平行的判定定理”: 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. α β P b a 证明：如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. ∴向量n也是平面β的法向量．故α∥β. ∵a//α，b//α， ∴n·u=0，n·v=0. ∵a⊂β，b⊂β，a∩b=P， ∴对任意点Q∈β，存在x，y∈R,使得 =xu+yv. 从而n· =n·(xu+yv)=xn· u+yn· v=0. LOGO 7 课堂练习 1.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. α b a LOGO 8 例题讲解 例2 如图，在四面体 ABCD 中，E是BC的中点. 直线AD 上是否存在点F，使得AE//CF? A C D B E F LOGO 9 课堂练习 2.在长方体ABCD­-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点， 求证：MN∥RS. LOGO 10 课堂练习 2.在长方体ABCD­-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点， 求证：MN∥RS. LOGO 11 例题讲解 例3 如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. 线段B1C上是否存在点P，使得AP//平面ACD1? A C D B C1 D1 B1 A1 P 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示．如果点P存在，那么就有n·=0，由此通过向量的坐标运算可得结果. LOGO 12 例题讲解 例3 如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. 线段B1C上是否存在点P，使得AP//平面ACD1? A C D B C1 D1 B1 A1 P 解:以D为原点，DA，DC，DD1，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A(3,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)， 设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量， ∴n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量, ∵A1(3,0,2)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)， ∴ =(-3,4,0)， =(-3,0,2). 则n· =0，n·=0,即 ,∴x= z,y= z.取z=6,则x=4,y=3, ∴ =(0,4,0)， =(-3,0,-2) 设点P满足 = λ (0<≤1)，则 =(-3,0,-2) ∴ = + =(-3,4,-2). ∴当 ，即P为B1C的中点时，A1P//平面ACD1. 令n·=0，得-12+12-12=0，解得= ，这样的点P存在 LO