1.3.2空间向量运算的坐标表示-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1 引 入 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p =xa+yb+zc. 2.空间直角坐标系 (1)如果空间的一个基底中的三个基向量两两互相垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. (2)在空间内选取一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. LOGO 2 引 入 3.空间直角坐标系中点与向量的坐标 i j O k x y z A i j O k x y z A 有序实数组(x , y , z) 一一对应 横坐标 纵坐标 竖坐标 a 在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组(x, y, z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x, y, z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 有序实数组(x, y, z)叫做 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 LOGO 3 引 入 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 问题1 平面向量中有哪些运算？类比到空间中？ 加法 减法 数乘 数量积 LOGO 4 探究新知 问题2 你能类比平面向量的坐标运算，类比出空间向量的坐标运算？ LOGO 5 探究新知 证明向量数量积公式·=11233. 设{i，j，k }为空间的一个单位正交基底， 则=1i+2j +3k ，=1i+2j +3k ， 所以·=(1i+2j +3k)· (1i+2j +3k). 利用向量数量积的分配律以及i·i=j · j =k ·k=1，i· j-j ·k =k ·i=0， 得·=11+22+33 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的． LOGO 6 探究新知 问题2 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 如图示，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) 是空间中任意两点，则 O P2 P1 空间两点间的距离公式： 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. LOGO 7 课堂练习 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. LOGO 8 例题讲解 例2 如图示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点， 求证：EF⊥DA1. O A D C B A1 D1 C1 B1 E F LOGO 9 例题讲解 A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. LOGO 10 例题讲解 A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. LOGO 11 课堂练习 3. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，BM=2MC', 求MN的长. A O C B A' D' C' B' M N LOGO 12 探究新知 5. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 M LOGO 13 探究新知