1.3.1空间直角坐标系-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.3.1 空间直角坐标系 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1 引 入 平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{i,j},以O为原点，分别以i,j的方向为正方向、以它们的长度建立两条数轴：x轴，y轴. O i j P p 对平面内任一向量p，存在唯一实数对(x,y)，使p=xi+yj 则终点P的坐标(x,y) 叫做向量p的坐标. (x,y) LOGO 2 引 入 i k j p P Q O 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p =xa+yb+zc. 特别地，当三个向量两两垂直时，称为正交分解 单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用{ }表示 LOGO 3 引 入 空间向量的运算 基向量的运算 几何问题 代数问题 问题1 能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础. 平面直角坐标系包含的要素：原点，坐标轴，单位长度 类比 LOGO 4 探究新知 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 原点 坐标原点O 坐标轴 互相垂直的两条数轴：x轴，y轴 单位长度 单位长度 坐标原点O 单位长度 互相垂直的三条数轴：x轴，y轴，z轴 LOGO 5 探究新知 1.空间直角坐标系 在空间内选取一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴. i j O k x y z 这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量. 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面， 8 它们把空间分成 个部分. （1）定义： LOGO 6 探究新知 （2）画法： 画空间直角坐标系Ozyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)，∠yOz=90°. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 1.空间直角坐标系 LOGO 7 探究新知 问题2 在平面直角坐标系中每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ i j O k x y z A i j O k x y z A 有序实数组(x , y , z) 一一对应 横坐标 纵坐标 竖坐标 a 符号(x,y,z)具有双重意义, 它既可以表示向量, 也可以表示点, 在表述时要注意区分. 在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组(x, y, z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x, y, z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 有序实数组(x, y, z)叫做 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 2.空间直角坐标系中点与向量的坐标 LOGO 8 问题3 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标(x , y , z)吗？ 探究新知 j i O k x y z A 过点A分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，分别交x轴、y轴、z轴于点B、C、D，可以证明x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为， ， B C D 设点B，C和Dx轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z，则A(向量 )的坐标为(). LOGO 9 探究新知 例1 如图示, 在长方体OABC-D'A'B'C'中, OA=3, OC=4, OD'=2, 以 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D', C, A', B'四点的坐标; (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ LOGO 10 探究新知 用坐标表示空间向量的步骤如下: 观图形 建坐标系 用运算