1.2 空间向量基本定理-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.2 空间向量基本定理 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1 引 入 2.平面向量的正交分解 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________. 1.平面向量的基本定理 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 {e1，e2} 基底 M N O 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. LOGO 2 探究新知 x y z O Q P 探究1 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）. 对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ 三个不共面的向量 用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？ 用三个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？ 先考虑三个不共面的向量两两互相垂直的特殊情况： LOGO 3 探究新知 先考虑三个向量两两互相垂直的特殊情况： x y z O Q P 【结论】 如果 是空间三个两两互相垂直的向量，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使得 我们称 分别为向量 在 上的分向量. 你能证明唯一性吗？ LOGO 4 探究新知 1.空间向量基本定理 如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使得 都叫做基向量 在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论吗？ 叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底. 所有空间向量组成的集合为 LOGO 5 探究新知 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. 【注意】对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面还应明确： （2）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 . （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使 当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面. LOGO 6 探究新知 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两互相垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 2.单位正交基底： 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 ，使 . 像这样，把一个空间向量分解为三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 正交分解： LOGO 7 例题讲解 例1 已知向量 是空间的一个基底．求证:向量 能构成空间的一个基底. LOGO 8 课堂练习 A ② C LOGO 9 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　　) (2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底． (　　) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　　) 课堂练习 × √ √ LOGO 10 课堂练习 A B C D A1 B1 C1 D1 √ LOGO 11 探究新知 探究点1　空间向量的基底 由向量共面的充要条件知，存在实数x，y， i＋2j－k＝x(－3i＋j＋2k)＋y(i＋j－k)＝(－3x＋y)i＋(x＋y)j＋(2x－y)k. 因为{i，j，k}是空间的一个基底， 所以i，j，k不共面， 解： LOGO 12 例题讲解 空间向量基底的判断依据 (1)判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间向量的一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　 LOGO 13 例题讲解 探究点2　利用基底表示向量 B C A Bʹ Aʹ Cʹ M N 解： LOGO 14 探究新知 探究点3　空间向量基本定理的应用 例3如图，