1.1.2空间向量的数量积运算-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.1.2空间向量的数量积运算 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1 引 入 如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对x,y使 类比平面向量推广得到空间向量 1. 空间向量的定义及相关概念 2. 空间向量的线性运算及运算律（加法、减法、数乘） 3. 【共线向量定理】 4. 【共面向量定理】 对任意两个空间向量 , 的充要条件是存在实数λ使 LOGO 2 引 入 与 反向 O A B 与 同向 O A B 记作 与 垂直， O A B 平面向量的夹角： 范围：________ 定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b，则_______＝θ 叫做向量a与b的夹角．记作: ________ ∠AOB 0≤θ≤π <a,b> 特殊情况： O A B 关键是起 点相同！ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. LOGO 3 探究新知 1. 空间向量的夹角 定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则_______叫做向量a与b的夹角．记作: ________ ∠AOB <a,b> 关键是起 点相同！ O B A 通常规定：________ 0≤ <a,b> ≤π 两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a> 如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b = = LOGO 4 探究新知 2. 空间向量的数量积 【注意】 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 ②零向量与任意向量的数量积等于零. （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a,b>叫做a，b的数量积．即 LOGO 5 课堂练习 不一定为锐角 不一定为钝角 C LOGO 6 探究新知 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）a·e＝e·a＝___________. （2）a⊥b⇔__________.（垂直的判断） （3）当a，b同向时，a·b＝_________； 当a，b反向时，a·b＝___________. （4）a·a＝_______或|a|＝_____.（求向量模长） （5）|a·b|≤_________. （6）cos θ＝_____.（求角度） |a|cos θ　 a·b＝0　 |a||b|　 －|a||b|　 |a|2　 |a||b|　 （2）数量积的性质 以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. LOGO 7 思考1 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地， 向量 a 在向量 b 上的投影有什么意义？ 向量 a 向直线 l 的投影呢？ 向量 a 向平面 β 的投影呢？ 探究新知 3. 空间向量的投影 LOGO 8 探究新知 4. 空间向量数量积的运算律 思考2 空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此自然会想到将其与数的乘法类比.向量的数量积与数的乘法有什么共性与差异？ 共性 差异 × × × LOGO 9 探究新知 D' C' B' D A B C A' 例2 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： LOGO 10 如何把已知的几何元素转化为向量表示？ 一些未知的几何元素能否用已知向量表示？ 结论和已经表示出来的向量或其运算有何联系？能否通过向量的运算获得结论？ 如何将向量运算的结果“翻译”为几何结论？ 探究新知 分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例3（试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线m，n是平面α内的两条相交直线,如果l⊥m，l⊥n,求证：l⊥α . m n g 共面向量定理 LOGO 11 例题讲解 m n g 证: 在 内作不与m ,n重合的任一直线 g，在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ，n不平行，由共面向量定理，存在唯一 的有序实数对 ,使 例3（试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线m，n是平面α内的两条相交直线,如果l⊥m，l⊥n,求证：l⊥α . LOGO 12 例题讲解 【用