1.4用一元二次方程解决问题（八大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》 1.4 用一元二次方程解决问题 知识点 列一元二次方程解决问题的一般步骤 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 增长率问题 【例题1】（2022秋•安次区期末）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝2500 解题技巧提炼 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量． 平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【变式1-1】（2023•庐阳区校级三模）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（　　） A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4 【变式1-2】（2022•渝北区校级模拟）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝1800 【变式1-3】（2022秋•平阴县期末）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 　 　． 【变式1-4】（2023•德庆县一模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台． （1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？ 【变式1-5】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率； （2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？ 题型二 传播问题 式有意义的条件 【例题2】在毕业季，某班同学互赠毕业礼物，若每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，请问这个班有多少位同学？ 解题技巧提炼 ◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ． ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为． 【变式2-1】（2022春•龙口市期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共 　 　人． 【变式2-2】（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】（2023•临潼区三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 【变式2-4】（2023春•庐阳区校级期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发