专题4.5 导数与函数的零点问题（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题4.5 导数与函数的零点问题 【核心素养】 1.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数，以及由函数零点或方程的根求参数的值（范围），或者证明与函数零点相关的不等式，凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 2.将函数、导数、方程与不等式相结合考查，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，也体现命题的创新性. 知识点一 解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 知识点二 利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 常考题型剖析 题型一：函数零点个数的判断与证明 【典例分析】 例1-1.（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； (2)判断函数的零点个数，并证明. 例1-2.（2023·广东东莞·校联考模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：对任意的，； (3)讨论函数在上零点的个数. 【规律方法】 1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数. 2.常用方法： （1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 【变式训练】 变式1-1.（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，. (1)当时，证明：在上恒成立； (2)判断函数的零点个数. 变式1-2.（2023·广东广州·统考三模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点个数． 题型二：根据函数零点的情况求参数取值范围 例2-1.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知且，函数. (1)讨论的单调区间； (2)若曲线与直线恰有一个交点，求取值范围. 例2-2.（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间上有两个不同的零点，求的取值范围. 【规律方法】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 【变式训练】 变式2-1.（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若的图象与直线恰有两个不同的公共点，求实数的取值范围. 变式2-2.（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的方程在内有解，求的取值范围. 题型三：与零点相关的不等式证明问题 【典例分析】 例3-1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，给出以下三个结论： ①如果有两个不同的根，则； ②当时，恒成立； ③如果有两个根，，则. 其中正确的结论个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3-2.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,若有两个实数根,且.求证:. 例3-3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（）有两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)设函数的两个零点分别为，，证明：. 例3-4.（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数. (1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由； (2)证明：当时，. 注：. 【变式训练】 变式3-1.（2023·福建南平·统考模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C．若方程有5个解，则 D．若函数（且）有三个零点，则 变式3-2.（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数． (1)求证：； (2)若方程