3.2.1 双曲线及其标准方程（六种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.2.1双曲线及其标准方程（六种常考题型） 知识点一 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 题型一 对双曲线定义的理解 1．平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 2．已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 3．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（    ） A． B． C．或 D． 5．若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是_________ （1）椭圆； （2）双曲线； （3）抛物线； （4）两条射线； （5）一条直线. 6．到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为______． 题型二 求双曲线的标准方程 7．已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．若双曲线的一个焦点是，则实数（　　） A． B． C． D． 9．若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为______． 10．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．    11．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点； (2)经过点和． 12．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据方程表示双曲线求参数 13．若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 17．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 B．当时，曲线表示一条直线 C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 18．写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值 ___. 题型四 利用双曲线的定义求轨迹方程 19．与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 20．（多选）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 21．求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 22．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程； 23．如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 24．已知△ABC的顶点，，满足：．记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程； 题型五 双曲线中焦点三角形问题 25．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9