1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 目录 学习任务 思维导图 主体学习 课堂小结 学习任务 PART ONE 1.理解位置向量、方向向量的概念.(数学抽象,直观想象) 2.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.(数学运算) 3.初步了解两条异面直线的距离的定义.(数学抽象) 思维导图 PART TWO 6 主体学习 PART THREE （1）如图所示的，四面体A-BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？ （2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ B C D 解：（1）可以借助向量的不同，来描述在空间中是不同的点. （2）一般地，如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点的位置向量. 特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定。 一、空间中的点与空间向量 二、空间中的直线与空间向量 （1）如图所示的长方体中,设 = ，如果只借助能不能确定直线AB在空间中的位置？ （2）一般地,怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？ B C D 解：（1）向量不能确定直线在空间中的位置，但是向量可以描述所有与直线平行或重合的直线. （2）一般地，如果是空间中的一条直线，空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与 平行或重合，则称 为直线的一个方向向量，此时也称 与直线 平行，记作. 按照空间中直线的方向向量的定义可知： (1)如果A,B 是直线上两个不同的点，则就是直线的一个方向向量； (2)如果是直线的一个方向向量，则对任意的实数,空间向量也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都平行； (3)如果为直线的一个方向向量，A为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点B,向量一定与非零向量平行，从而可知存在唯一的实数,使得,这就是说，空间中直线的位置可由和点A唯一确定； (4)如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则 ，或重合. 例1 已知正方体中，E为的中点， 求证:直线与直线不平行. 证明：以为原点，，，的方向分别为轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 （0,0,1）, 所以= = 又因为所以与不平行， 因为为直线的一个方向向量，为直线的一个方向向量,当 时必有 .由上可知直线与直线不平行 11 三、空间中两条直线所成的角 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ, 则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>, 特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|; l1⊥l2⇔<v1,v2>= ⇔v1·v2=0. 例2 已知是平面内的两条相交直线，直线满足. 求证：. 解：设是内的任意一条直线， 且分别为直线的方向向量， 如图所示，则根据已知有 . 因为与相交，所以不共线， 又因为共面，所以由共面向量定理可知， 存在唯一的实数对，使， 因此 从而可知，所以. 因为直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. 如图所示,在三棱锥O-ABC中,OA, OB,OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2, 求直线AE与BC所成角的大小. 例3 解：（方法一） 根据已知可得，， 不共面， 且=1, =2 = = =0 又因为= =, = 所以=()()=2， =()()=8 所以== 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为. 解：（方法二）因为OA,OB,OC两两互相垂直， 所以能以O为原点, ，，的方向分别 为轴正方向，建立如图所示直角坐标 系，由OB=OC=2OA=2, 可知A（0,0,1）, 所以=(-1,0,1), =(0,0,1) , 因此 所以= == 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为. 解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF. 由E，F分别为OC，OB中点可知 EF为OBC的中位线， 从而EF BC，因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小. 又易知OA=OE=OF=1，而且OA,OE,OF两两垂直， 因此AE=EF=AF= 所以是等边三角形, 从而, 因此直线AE与BC所成角的大小为 四、异面直线与空间向量 分别是空间中直线的方向向量. （1）如果异面，那么与可能平行吗？ （2）如果与不平行，那么与一定异面吗？ 答：（1）不可能； （2）不一定异面，还可能相交. 17 如图所示，如果，则与异面时，可知不共面 反之，如果不共面，则与是异面的. 18 例4 中，判断满足下列条件的点是否存在：. 解：以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 正方体的棱长为单位长度，建立如