2.2 基本不等式同步练测——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式同步练测 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为1 C．若，则 D．若，则 2．已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 3．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 6．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ） A．4 B． C． D．8 7．若，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．36 B．42 C．49 D．6 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．下列函数的最小值为4的有（    ） A． B． C． D． 10．设正实数a，b满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 11．若，，，则的可能取值有（   ） A． B． C． D． 12．若，且，下列结论正确的是（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知，则的最大值是______． 14．已知，则的最小值为___________． 15．若正数a，b满足，则的最小值是__． 16．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若实数，且满足． (1)求的最大值； (2)求x+y的最小值． 18．（1）已知，求的最大值． （2）已知，求的最大值． （3）已知，求的最大值． 19．（1）已知，且满足.求的最小值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值； （3）已知，求的最大值. 20．已知，，，且． (1)证明：； (2)证明：． 21．某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. （1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 22．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 参考答案 1．D 【解析】对于A，，当时，，当且仅当等号成立， 当时，，当且仅当等号成立， 当异号时，，当且仅当即等号成立，故A错误； 对于B，当，则由，当且仅当，显然等号不成立，故错误， 对于C，若，则，当且仅当即等号成立，故C错误； 对于D，若，则，当且仅当或等号成立，故D正确. 故选：D. 2．C 【解析】，， （当且仅当时等号成立）， 故选：C 3．D 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为3.因为当时，不等式恒成立，所以.故选：D. 4．A 【解析】因为，所以， 由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即 当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A. 5．B 【解析】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．故选：B． 6．A 【解析】已知正数、满足，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，.因此，实数的最大值为.故选：A. 7．C 【解析】因为，，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以，即的最大值为，故选：C. 8．C 【解析】正数满足，则有， ∴， 当且仅当 且，即 时取等号，即的最小值为49. 故选：C 9．AB 【解析】对于A，，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 对于B，，当且仅当即时等号成立， 故B正确； 对于C，， 因为无解