第三部分 思想方法(三)数形结合思想-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（湘教版）

%* ! 思想方法!三" ! 数形结合思想 数形结合的基本思想#就是在研究问题的过程 中把数和形结合起来分析问题的思想方法 ! 斟酌问 题的具体情形#把图形性质的问题转化为数量关系 的问题#或者把数量关系的问题转化为图形性质的 问题#我国著名数学家华罗庚曾说过$)数缺形时少 直观#形少数时难入微%数形结合百般好#隔离分家 万事休* ! 在应用数形结合思想分析和解决实际问题的过 程中#始终抓住)数*与)形*之间的关系 ! 依形判数# 以数助形 ! 使复杂问题简单化#抽象问题具体化#化 难为易#获得简便易行的成功方案 ! 一#数形结合思想在勾股定理验证中的应用 !例 ! " ! 用四个全等的直角三角 形可以拼成如图所示的图形!这个图 形被称为+弦图,!最早是由三国时期 的数学家赵爽在为)周髀算经*作注时 给出的 ! 观察右图!你能验证 + + ") + !* + 吗( 把你的 验证过程写下来!并与同伴进行交流 ! !解析" ! 图中以 + 为边的正方形面积可以从整 体与部分两个角度思考#因此有两种不同的表示形 式 ! 由图可知 1正方形"/C 1 + + )*! ! *<) " + "+)*! * + !) + <+)*") + !* + ! 而 1正方形"+ + #所以 ) + !* + " + + ! !方法规律总结" ! 在勾股定理的探索验证过程 中#充分应用了数形结合思想方法 ! 在有关勾股定理 的问题中#要重视数与形的相互作用 ! 二#数形结合思想在四边形中的应用 !例 " " ! 如图!已知菱形 "#$& ! "#""$ ! ' ' ( 分别是 #$ ' "& 的中点!连接 "' ' $(! " 1 #证明$四边形 "'$( 是 矩形% " + #若 "#"5 !求菱形的面积 ! !解析" ! ! 1 "证明$ F 四边形 "#$& 是菱形# G "#"#$! 又 F"#""$ #点 ' 是 #$ 的中点# G"' % #$!G # "'$"#$%! F' & ( 分别是 #$ & "& 的中点# G"(" 1 + "& # '$" 1 + #$!G"("'$! F"& & #$ # G"( & '$! G 四边形 "'$( 是平行四边形 ! 又 F # "'$"#$% # G 四边形 "'$( 是矩形 ! ! + "在 67 " "#' 中# F"'" 5 + </槡 + 槡"/ .# G1菱形 槡 槡"5C/ .".+ .! !方法规律总结" ! 在四边形中#熟练掌握特殊 四边形的判定和性质#结合勾股定理$方程模型和坐 标平面#以形求数#有利于迅速找到解题的突破口 ! 三#数形结合思想在坐标系中的应用 !例 # " ! 如图所示!在平面直角坐标系中!已知 点 " " <. ! <1 #! # " 1 ! . #! $ " + ! <. #!你能求出三角 形 "#$ 的面积吗( !分析" ! 由于三边均不平行于坐标轴#所以我 们无法直接求边长#也无法求高 ! 根据平面直角坐标 系的特点#可以将三角形围在一个梯形或长方形中# 这个梯形!长方形"的上下底!长"与其中一坐标轴平 行#高!宽"与另一坐标轴平行 ! 这样#梯形!长方形" 的面积容易求出#再减去围在梯形!长方形"内边缘 部分的直角三角形的面积#即可求得原三角形的面 积 ! !解答" ! 如图!过点 " ' $ 分别作平行于 5 轴的 直线!与过点 # 作平行于 7 轴的直线交于点 & ' ' ! 则四边形 "&'$ 为梯形 ! F" " <. ! <1 #! # " 1 ! . #! $ " + ! <. #! %! G"&"/ ! $'"4 ! &#"/ ! #'"1 ! &'"0! G " "#$ 的面积为1 + " "&!$' # C&'< 1 + "& C&#< 1 + $'C#'" 1 + C " /!4 # C0< 1 + C/C/< 1 + C4C1"1/! !方法规律总结" ! 在平面直角坐标系中求图形 的面积#一般就是借助于平面直角坐标系的坐标轴 将要求的图形分割成一些规则的图形#例如直角三 角形$矩形$直角梯形$正方形等 ! 利用这些图形面积 的和$差求出面积即可 ! 四#数形结合思想在一次函数中的应用 !例 $ " ! 为了促进节 能减排!倡导节约用电!某 市将实行居民生活用电阶 梯电价方案!图中折线反 映了每户每月用电电费 5 "元#与用电量 7 "度#间的 函数关系式 ! " 1 #根据图象!阶梯电价方案分为三个档次!填 写下表$ 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量 7 !度" $ + 7 , 1/$ !! " + #小明家某月用电 1+$ 度!需交电费 元% " . #求第二档每月电费 5 "元#与用电量 7 "度#之 间的函