专题1.1 空间向量与空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1空间向量与空间向量基本定理 知识点一 空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量． ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 知识点二 空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广． 设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，. （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点三 共线向量定理、共面向量定理 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， 使.其中x＋y＋z＝1. 知识点四 空间向量的数量积及其性质 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝. 2.设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向； θ＝__π__时，a与b反向． ②a⊥b⇔θ＝____⇔a·b＝0． ③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__． ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|． ⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__． ⑥a·b＝0 a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝__0__． ⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线． 考点01 空间向量的有关概念 【典例1】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】（2021秋·高二课时练习）给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【总结提升】 明确概念是进一步解题的基础，尽管在高考题中鲜有独立考查，但解答题中均有涉及. 考点02 空间向量的线性运算 【典例3】（2022秋·高二课时练习）在四面体中，点在上，且，为中点，则=（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【总结提升】 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 考点03 共线向量定理及其应用 【典例5】（2021秋·高二课时练习）直线l的方向向量为，，是平行于平面内两个不共线向量，下列关系中能推出的是（    ） A． B． C