第三部分 思想方法(一)分类讨论思想-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（人教版）

$& ! 第三部分 思想方法篇 思想方法!一" ! 分类讨论思想 分类思想是贯穿义务教育阶段的重要思想"而 对于这一思想的理解就是要在%悟&的过程中逐渐领 悟 ! 分类讨论一般应遵循下列三个原则( ! 对问题进 行分类时"要依据同一标准' " 分类要完整"不重复! 不遗漏' # 有时分类不是一次完成"须逐级进行分 类"前后标准要一致 ! 一$分类讨论思想在二次根式中的应用 !例 ! " ! 化简$ ! %() "槡 ' ( ! %(' "槡 ' ! !分析" ! 此题先把 # %() $槡 ' ( # %(' $槡 '化为 %() ( %(' "然后根据 % 的不同取值进行分类 讨论 ! !解答" ! 原式 2 %() ( %(' ! 当 % % #) 时#原式 2%()(%('2'%(+ & 当 #' ' % ' #) 时#原式 2#%#)(%('2) & 当 % " #' 时#原式 2#%#)#%#'2#'%#+! !方法规律总结" ! 由二次根式的性质可知(当 % & / 时% %槡 ' 2% '当 % " / 时% %槡 ' 2#%! 因此解答此 题一定要对被开方数进行分类讨论 ! 其实数学里面 的许多问题%只有用分类讨论的思想才能保证解答 问题的完整%做到)不重不漏* ! 二$分类讨论思想在勾股定理中的应用 !例 " " ! 已知在 89 ( )*+ 中#两直角边的长分 别为 '/ 和 )3 # ) *)+2-/: # ). - *+ 于点 . #求 *. 的长 ! !解析" ! 题中无图"需画图研究 ! 在画图过程中 会发现 )* 的长是 '/ 还是 )3 不能确定"因而分类 讨论 ! 由题意根据勾股定理"得 *+2 '/ ' ()3槡 ' 2'3! 又由面积法可得) ' 1'/ 1)32 ) ' 1'31). "所以 ).2)'! # ) $当 )*2'/ 时"如图 ) " *.2 '/ ' #)'槡 ' 2)0! # ' $当 )*2)3 时"如图 ' " *.2 )3 ' #)'槡 ' 2-! 所以 *. 的长为 )0 或 -! ! ! 图 ) !!!!! 图 ' !方法规律总结" ! 几何无图题%很多时候存在 多种情况%因此要分类画图解答%分类时要做到不重 不漏 ! 三$分类讨论思想在一次函数中的应用 !例 # " ! 一次时装表演会预算中票价定为每张 )// 元#容纳观众人数不超过 '/// 人#毛利润 ' !百 元"关于观众人数 # !百人"之间的函数图象如图所示# 当观众人数超过 )/// 人时#表演会组织者需向保险 公司缴纳定额保险费 3/// 元 ! !不列入成本费用" ! ) "求当观众人数不超过 )/// 人时#毛利润 ' 关于观众人数 # 的函数解析式和成本费用 < !百元" 关于观众人数 # 的函数解析式& ! ' "若使这次表演会获得 +0/// 元的利润#那么 需零售出多少张门票+ 需支付成本费用多少元+ !解析" ! # ) $由图象可知"当 / ' # ' )/ 时" ' 关 于 # 的函数解析式为 ' 23/##)// " ?<2)//## # 3/##)// $" ?<23/#()//! # ' $当 / ' # ' )/ 时" 根据题意得 3/##)//2+0/ " ?#2-!'! $' ! ?<23/#()//23/1-!'()//230/! 当 )/ " # ' '/ 时" ' 23/##)3/ " <23/#()// " ?3/##)3/2+0/ " ?#2)/!'! <23/1)/!'()//20)/! 即需售门票 -'/ 张或 )/'/ 张时获利 +0/// 元 ! 相应地需支付成本费用分别为 30/// 元或 0)/// 元 ! !方法规律总结" ! 解决函数中的分段函数问题 或方案决策问题%一般都要依据题目的条件%对各种 可能情况进行分类讨论 ! 四$分类讨论思想在四边形中的应用 !例 $ " ! 已知正方形 )*+. #点 0 是对角线 )+ 所在直线上的动点#点 - 在 .+ 边所在直线上#且随 着点 0 的运动而运动# 0-20. 总成立 ! ! ) "如图 ) #当点 0 在对角线 )+ 上时#请你通过 测量%观察#猜想 0- 与 0* 有怎样的关系+ !直接写 出结论不必证明" ! ' "如图 ' #当点 0 运动到 +) 的延长线上时# ! ) "中猜想的结论是否成立+ 如果成立#请给出证 明&如果不成立#请说明理由& ! + "如图 + #当点 0 运动到 +) 的反向延长线上 时#请你利用图 + 画出满足条件的图形#并判断此时 0- 与 0* 有怎样的关系+ !直接写出结论不必证明" !分析" ! 根据正方形的性质和全等三角形的判 定证 ( 0