第三部分 思想方法(二)数形结合思想-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（人教版）

$) ! 思想方法!二" ! 数形结合思想 数形结合思想方法是指在研究问题的过程中"把数 和形结合起来分析问题的思想方法 ! 数形结合在数学中 占有非常重要的地位"其实质是将抽象的数学语言与直 观的图象结合起来"关键是代数问题与几何图形之间的 相互转化"它可以使代数问题几何化"几何问题代数化 ! 在应用数形结合思想分析和解决实际问题的过 程中"始终抓住%数&与%形&之间的关系 ! 依形判数" 以数助形 ! 使复杂问题简单化"抽象问题具体化"化 难为易"获得简便易行的解题方案 ! 一$数形结合思想在实数中的应用 !例 ! " ! 实数 % % $ 在数轴上的位置如图所示#且 $ % $%$ $ $ #则化简 %槡 ' # $ %($ $ 的结果为 ! !! " !!!!!!!!!!!!!!!!!!! "'%($ %"#'%($ &"$ *"'%#$ !解析" ! 观察数轴知" % " / " $ "又 $ % $%$ $ $ "所 以 %($ " / "因此 %槡 ' # $ %($ $ 2#%(%($2$! 故 选 &! !方法规律总结" ! 解答本题时应先从数轴上获 取 % & $ 的取值范围%再结合已知将根号及绝对值符 号去掉%之后合并同类项即可 ! 二$数形结合思想在勾股定理中的应用 !例 " " ! 已知$在 ( )*+ 中# )*2)+56 # *+2 )/56 # *+ 边上的中线 ).2)'56! 则 ( )*+ 是等 腰三角形吗+ !解析" ! 由 ). 是 *+ 边上的 中线得 *. 2+.2356 #由形到 数$ ! 在 ( )*. 中"有 ). ' (.* ' 2 )' ' (3 ' 2)+ ' 2)* ' " ? ( )*. 是 直角三角形# ) ).*2 ) ).+2 -/: $#由数到形$ ! 在 89 ( ).+ 中" )+ ' 2). ' (.+ ' 2)' ' (3 ' 2 )0- "又 @)+ % / " ?)+2)+56 #由形到数$ ! 即 )*2)+ "故 ( )*+ 是等腰三角形#由数到形$ ! !方法规律总结" ! 此题综合运用了勾股定理及 直角三角形的判定方法%充分体现了由)形*到)数*% 再由)数*到)形*的数形结合的思想%从中你可以体 会到数形结合的奥妙 ! 三$数形结合思想在平行四边形中的应用 !例 # " ! 如图所示# + )*+. 的周长是 ),56 # 对角线 )+ % *. 相交于点 , #若 ( ),. 与 ( ),* 的 周长差是 356 #则边 )* 的长是 56! !分析" ! 利用平行四边形的对角线互相平分这一 性质"确定已知条件中两三角形周长的差也是平行四边 形两邻边边长的差"进而确定平行四边形的边长 ! !解答" ! @ 四边形 )*+. 是平行四边形# ?,)2,+ # ,*2,.! @ ( ),. 的周长 2,)(,.(). # ( ),* 的周长 2,)(,*()* # 又 @ ( ),. 与 ( ),* 的周长差是 356 # ?).2)*(3 # 设 )*2# # ).23(# #则 ' ! #(3(# " 2), #解 得 #2'! 即 )*2'56! !方法规律总结" ! 要充分利用图形的性质%如 果不知道的量较多%可以适当地设未知数%找等量关 系%利用方程的思想进行解决 ! 四$数形结合思想在一次函数中的应用 !例 $ " ! 甲%乙两个港口相距 $' 千米#一艘轮船 从甲港出发#顺流航行 + 小时到达乙港#休息 ) 小时 后立即返回&一艘快艇在轮船出发 ' 小时后从乙港 出发#逆流航行 ' 小时到甲港#并立即返回!掉头时 间忽略不计" ! 已知水流速度是 ' 千米-时#如图表示 轮船和快艇距甲港的距离 ' !千米"与轮船出发时间 # !小时"之间的函数关系式#结合图象解答下列问 题$ %* ! ! ) "轮船在静水中的速度是 千米-时& 快艇在静水中的速度是 千米-时& ! ' "求快艇返回时的解析式#写出自变量取值范围& ! + "快艇出发多长时间#轮船和快艇在返回途中 相距 )' 千米+ !直接写出结果" !解析" ! # ) $设轮船在静水中的速度为 ? 千米+时" 由题意得 + # ?(' $ 2$' "解得 ?2'' '设快艇在静水中的速 度为 % 千米+时"由题意得 ' # %#' $ 2$' "解得 %2+,! # ' $由题意得快艇回来时的对应的线段是 -2! 快艇返回时用的时间为 $'7 # +,(' $ 2)!, #时$"所 以 2 点坐标为# 3!, " $' $ ! 设线段 -2 所在直线解析 式为 ' 2;#($ # ; / / $"由题意"得 3!,;($2$' " .;($2/ 1 2 3 ! 解得