第二部分 专题复习(三)平行四边形的探索与证明-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（人教版）

## ! 专题复习!三" ! 平行四边形的探索与证明 四边形与三角形有着紧密的联系"研究四边形 的性质常常借助三角形的有关知识"理解平行四边 形!矩形!菱形!正方形的概念"以及它们之间的关系 是特殊与一般的关系"理解这种关系对于研究它们 的性质和判定有着重要的作用 ! 近年来特殊四边形 的知识内容备受命题者的青睐"题型设计多样化"出 现了较多开放探索型问题"与图形变换!函数等知识 融为一体"形成压轴题 ! 考点 ! ! 平行四边形有关量的计算 !例 ! " ! 如图# . 是 ( )*+ 的边 )* 上一点# +9 , )* # .9 交 )+ 于点 7 #若 7)27+! ! ) "求证$ +.2)9 & ! ' "若 )+ - .9 # ) +)92+/: # 792) #求四边 形 ).+9 的面积 ! !分析" ! # ) $利用% !!C &或者% !C! &证明 ( )7. .( +79 "得 ).2+9 '然后利用 ).2 +9 " ). , +9 "证明四边形 ).+9 是平行四边形 ! # ' $利用%直角三角形的性质&得 )9 的长"然后 利用勾股定理求得 )7 "从而计算出 89 ( )79 的 面积"而 / + ).+9 2./ ( )79 ! !解答" ! ! ) "证明$如图# @)* , +9 # ? ) .)72 ) 9+7! 在 ( )7. 和 ( +79 中# ) .)72 ) 9+7 # )72+7 # ) )7.2 ) +79 1 2 3 # ? ( )7. .( +79!?).2 +9! 又 @). , +9 # ? 四边形 ).+9 是平行四边 形# ?+.2)9! ! ' " @)+ - .9 # ) +)92+/: # 792)!?)9 2'792'! 在 89 ( )79 中# )72 )9 ' #79槡 ' 2 ' ' #)槡 ' 槡2 +!?/()79 2 ) ' )7 ' 792 ) ' 槡1 + 1)2 槡+ ' !@ 四边形 ).+9 是平行四边形# ?/ + ).+9 2./ ( )79 2.1 槡+ ' 槡2' +! !方法规律总结" ! 当有一组对边平行%证明四 边形是平行四边形时%有两条路可选%其一证明这组 对边相等%其二证明另一组对边平行%平行四边形面 积的计算可利用底 1 高%也可利用 / + 2'/大 ( 2 ./小 ( ! 考点 " ! 对特殊四边形形状的判定 !例 " " ! 在 + )*+. 中# )+ # *. 交于点 , #过 点 , 作直线 -2 # 34 #分别交平行四边形的四条边 于 - # 3 # 2 # 4 四点#连接 -3 # 32 # 24 # 4-! ! ) "如图 ) #试判断四边形 -324 的形状#并说 明理由& ! ' "如图 ' #当 -2 - 34 时#四边形 -324 的形 状是 !!!! & ! + "如图 + #在! ' "的条件下#若 )+2*. #四边形 -324 的形状是 !!!! & ! . "如图 . #在! + "的条件下#若 )+ - *. #试判断 四边形 -324 的形状#并说明理由 ! !解析" ! # ) $四边形 -324 是平行四边形 ! 证明( @ + )*+. 的对角线 )+ " *. 交于点 , " ?,)2,+! 易证 ( ),- .( +,2!?,-2,2! ? 同理可得 3,24,! ? 四边形 -324 是平行四边形 ! # ' $菱形 ! # + $菱形 ! # . $四边形 -324 是正方形 ! 证明( @)+2*. " ? + )*+. 是矩形 ! 又 @)+ #$ ! - *. " ? + )*+. 是正方形 !? ) *,+2-/: " ) 3*, 2 ) 2+,2.3: " ,*2,+!@-2 - 34 " ? ) 3,22-/:! ? ) *,32 ) +,2 " ? ( *,3 .( +,2!?,32,2!? 342-2! 由# ) $知四边形 -324 是平行四边形"又 @-2 - 34 " -2234 " ? 四边形 -324 是正方形 ! !方法规律总结" ! -2 与 34 的位置关系和数量 关系直接影响四边形 -324 的形状(既不相等又不垂直 时%四边形 -324 是平行四边形'只垂直不相等时是菱 形'只相等不垂直时是矩形'既垂直又相等时是正方形 ! 考点 # ! 条件开放性探究题 !例 # " ! 如图#已知 + )*+. 中# - 为 ). 的中点# +- 的延长线交 *) 的延长线于点 2! ! ) "求证$ +.22) & ! ' "若使 ) *2+2 ) *+2 # + )*+. 的边长之间 还需再添加一个什么条件+ 请补上这个条