思想方法(一)数形结合思想-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（冀教版）

$" ! 第三部分 思想方法篇 思想方法!一" ! 数形结合思想 数学家华罗庚说得好($数形结合百般好"隔离 分家万事休"几何代数统一体"永远联系莫分离% ! 几 何图形的形象直观"便于理解"代数方法的一般性" 解题过程的机械化"可操作性强"便于把握"因此数 形结合思想是数学中重要的思想方法 ! 所谓数形结 合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联 系"既分析其数量关系"又揭示其几何意义使数量关 系和几何图形巧妙地结合起来"并充分地利用这种 结合"探求解决问题的思路"使问题得以解决的思考 方法 ! 在初中数学的解题中数形结合主要有三种类 型(以$数%化$形%!以$形%变$数%和$数%$形%结合 ! 一$数形结合思想在一次函数问题中的应用 !例 ! " ! 某公司推 销一种产品#设 + !件"是 推销产品的数量# * !元" 是推销费#如图已表示了 公司每月付给推销员推 销费的两种方案#看图解答下列问题( ! . "求 *. 与 *' 的函数解析式$ ! ' "解释图中表示的两种方案是如何付推销费的) ! ( "如果你是推销员#应如何选择付费方案) !解析" ! & . ' *. 8'*+ " *' 8.*+7(** # & ' ' *. 是不推销产品没有推销费"每推销 .* 件 产品得推销费 '** 元" *' 是保底工资 (** 元"每推销 .* 件产品再提成 .** 元 ! & ( '若业务能力强"平均每月保证推销多于 (* 件时"就选择 *. 的付费方案#否则"选择 *' 的付费 方案 ! !方法规律总结" ! 根据图像信息确定一次函数 表达式时#观察图像找到两个直观的点的坐标#代入 * 87+70 !或 * 87+ "列出关于 7 $ 0 的方程组#求得 7 $ 0 的值#即得函数表达式%图像在上方的说明它的 函数值较大#反之较小#当然#两图像相交时#说明在 交点处的函数值是相等的 ! !变式练习 ! " ! 某通讯公司推出 ! ' " 两种通讯 收费方式供用户选择#其中一种有月租费#另一种无 月租费#且两种收费方式的通讯时间 + !分钟"与收 费 * !元"之间的函数关系如图所示 ! ! . "有月租费的收费方式是 !填% ! &或 % " &"#月租费是 元$ ! ' "分别求出 ! ' " 两种收费方式中 * 与自变量 + 之间的函数关系式$ ! ( "请你根据用户通讯时间的多少#给出经济实 惠的选择建议 ! 二$数形结合思想在统计中的应用 !例 " " ! 中学生带手机上学的现象越来越受到 社会的关注#为此某记者随机调查了某市城区若干 名中学生家长对这种现象的态度!态度分为( "! 无所 谓$ #! 基本赞成$ ! 赞成$ &! 反对" ! 并将调查结果绘 制成频数折线统计图 . 和扇形统计图 ' !不完整" ! 请 根据图中提供的信息#解答下列问题( ! . "此次抽样调查中#共调查了 名中学 生家长$ ! ' "将图 . 补充完整$ ! ( "根据抽样调查结果#请你估计该市城区 +*** 名中学生家长中有多少名家长持反对态度) $# ! !解析" ! & . '根据题意得( &*>'*-8'** &人'" 则此次抽样调查中"共调查了 '** 名中学生家长# & ' '$赞成%的人数为 '**6 & (*7&*7.'* ' 8.* &人'"补全条形统计图"如图所示( & ( '根据题意得( +***= .'* '** 8(+** &人'" 则 +*** 名中学生家长中持反对态度的人数为 (+** 人 ! !方法规律总结" ! 此题考查了频数!率"分布直 方图#扇形统计图#以及用样本估计总体#弄清题意 是解本题的关键 ! !变式练习 " " ! 学校为了响应国家阳光体育活 动#选派部分学生参加足球'乒乓球'篮球'排球队集 训 ! 根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图!如 图 . 和如图 ' #要求每位同学只能选择一种自己喜欢 的球类#图中用足球'乒乓球'篮球'排球代表喜欢这 四种球类某种球类的学生人数" 请你根据图中提供的信息解答下列问题( ! . "参加篮球队的有 人#参加足球队的 人数占全部参加人数的 -! ! ' "喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的 圆心角是多少度) 并补全频数分布折线统计图 ! 三$数形结合思想在平面直角坐标系中的应用 !例 # " ! 如图#在平面 直角坐标系中#网格中每一 个小正方形的边长为 . 个 单位长度 ! ! . "请在所给的网格内 画出以线段 "# ' #$ 为边 的菱形#并写出点 & 的坐 标 ! ! ' "线段 #$ 的长为 #菱形 "#$& 的面 积等于 ! !解析" ! & . ' & & 6' " . ' & ' ' #$8 . ' 7&槡 ' 槡8 .