思想方法(三)函数思想-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（冀教版）

%* ! 思想方法!三" ! 函数思想 函数是中学数学的一个重要概念"初中阶段主 要学习一次函数!正比例函数!反比例函数和二次函 数 ! 尽管内容不多"但函数的思想已经有所体现"仍 占据着重要地位 ! 基础知识是否牢固"函数的思想是 否基本形成"对高中阶段的进一步学习都有着相当 大的影响 ! 函数的思想方法主要包括以下几方面(运用函 数的有关性质解决函数的某些问题#以运动变化的 观点"分析和研究具体问题中的数量关系"建立函数 关系"运用函数的知识"使问题得到解决#经过适当 的数学变化和构造"使一个非函数的问题转化为函 数的形式"并运用函数的性质来处理这一问题 ! 一$函数思想在动点问题中的应用 !例 ! " ! 如图 . #在 + "#$& 中# "&8,93 #动 点 - 从 " 点出发#以 .93 1 C 的速度沿着 " & # & $ & " 的方向移动#直到点 - 到达点 " 后才停止 ! 已 知 " -"& 的面积 * !单位( 93 ' "与点 - 移动的时间 + !单位( C "之间的函数关系如图 ' 所示#试解答下列 问题( !!!!! 图 . !!!!!!!!!! 图 ' ! . "求出 + "#$& 的周长$ ! ' "请你利用图 . 解释一下图 ' 中线段 /; 表 示的实际意义$ ! ( "求出图 ' 中 . 和 0 的值 ! !解析" ! & . '由图 ' 可知点 - 从 " 点运动到 # 点的时间为 .*C " 又因为 - 点运动的速度为 .93 + C " 所以 "#8.*=.8.* & 93 '"而 "&8,93 " 则 + "#$& 的周长为( ' & "#7"& ' 8' & .*7, ' 8(0 & 93 '# & ' '线段 /; 表示的实际意义是(点 - 在 #$ 边上从 # 点运动到 $ 点# & ( '由 "&8, 可知点 - 在边 #$ 上的运动时间 为 ,C "所以 .8.*7,8., #分别过 # 点! $ 两点作 #) - "& 于 ) " $( - "& 于 (! 由图 ' 知 8 " "#& 8(+ "则 . ' =,=#)8(+ " 解 得 #) 80 "在 直 角 " "#) 中"由勾股定理"得 ")8 "# ' 6#)槡 ' 8+! 易证 " #") ." $&( "则 #)8$(80 " ")8 &(8+ " "(8"&7&(8,7+8.)! 在直 角 " "$( 中"由 勾 股 定 理"得 $" 8 "( ' 7$(槡 ' 8./ " 则点 - 在 $" 边上从 $ 点运动到 " 点的时间 为 ./C " 所以 08.,7./8(+! !方法规律总结" ! 本题考查了动点问题的函数 图像#根据图 ' 的三角形的面积的变化情况求出 "# 的长度是解题的关键#在梯形的问题中#作梯形的高 是一种常用的辅助线的作法 ! !变式练习 ! " ! 如图 . #小明在矩形 "#$& 边 上#以 ' 米1秒的速度从点 # 经点 $ ' & 走到点 "! 小 明行走时所在位置到边 "# 的距离 * !米"与他离开 点 # 的时间 4 !秒"的关系如图 ' 所示 ! ! . "当小明离开 # 点 ( 秒时#小明走到那个位置 是哪个点) / 秒时呢) ! ' "求 . 的值及 $& 的长 ! 图 . !!!!! 图 ' !! %! 二$函数思想在实际问题中的应用 !例 " " ! 某工厂计划生产 " ' # 两种产品共 )* 件#需购买甲'乙两种材料 ! 生产一件 " 产品需甲种 材料 (* 千克'乙种材料 .* 千克$生产一件 # 产品需 甲'乙两种材料各 '* 千克 ! 经测算#购买甲'乙两种 材料各 . 千克共需资金 &* 元#购买甲种材料 ' 千克 和乙种材料 ( 千克共需资金 .*) 元 ! ! . "甲'乙两种材料每千克分别是多少元) ! ' "现工厂用于购买甲'乙两种材料的资金不超 过 (0*** 元#且生产 # 产品不少于 '0 件#问符合条 件的生产方案有哪几种) ! ( "在! ' "的条件下#若生产一件 " 产品需加工 费 '** 元#生产一件 # 产品需加工费 (** 元#应选择 哪种生产方案#使生产这 )* 件产品的成本最低) !成本 8 材料费 7 加工费" !解析" ! & . '设甲材料每千克 + 元"乙材料每千 克 * 元"则 +7 * 8&* " '+7( * 8.*) 4 " 解得 +8.) " * 8') 4 " 所以甲材料每千克 .) 元"乙材料每千克 ') 元# & ' '设生产 " 产品 % 件"生产 # 产品& )*6% ' 件"则生产这 )* 件产品的材料费为 .)=(*%7')= .*%7.)='* & )*6% ' 7')=