思想方法(二)分类讨论思想-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（冀教版）

$& ! 思想方法!二" ! 分类讨论思想 初中数学中的分类讨论思想"就是根据数学对 象本质属性的相同点与不同点"将其分成几个不同 种类的一种数学思想 ! 引起分类讨论的因素较多"归 纳起来主要有以下几个方面(& . '由数学概念!性质! 定理!公式的限制条件引起的讨论#& ' '由数学变形 所需要的限制条件所引起的分类讨论#& ( '由于图形 的不确定性引起的讨论#&'由于题目含有字母而引 起的讨论 ! 分类的原则(& . '分类中的每一部分是相互独立 的#& ' '一次分类按一个标准#& ( '分类讨论应逐级进 行 ! 一$分类讨论思想在平面直角坐标系中的应用 !例 ! " ! 已知(点 " '点 # 的坐标分别为! ' # ( "' ! & # ' "#点 ' 为平面直角坐标系的原点#点 - 在坐标 轴上#若以 " ' # ' ' ' - 为顶点的四边形的面积等于 " '"# 的面积的 ' 倍#则点 - 的坐标为 ! !解析" ! 先利用$割补法%求出不规则 " '"# 的面积"只要$新增%三角形的面积等于 " '"# 的面 积即可"在 + 轴! * 轴上分别找出满足条件的 - 点 ! A8 " '"# 8 . ' ='=(7 . ' = & '7( ' ='6 . ' =& ='8& "要使以 " ! # ! ' ! - 为顶点的四边形的面积 等于 " '"# 的面积的 ' 倍"只要$新增%三角形的面 积为 & 即可# B 当点 - 在 + 轴正半轴时"$新增% " '#- "则 点 - 的坐标为&" * '时"$新增% " '#- 的面积为 & " 满足条件# 当点 - 在 + 轴负半轴时"$新增% " '"- "则点 - 的坐标为& 6 0 ( " * '时"$新增% " '"- 的面积为 & " 满足条件# 当点 - 在 * 轴正半轴时"$新增% " '"- "则点 - 的坐标为& * " & '时"$新增% " '"- 的面积为 & "但是 " ! # ! ' ! - 不能构成四边形"不满足条件# 当点 - 在 * 轴负半轴时"$新增% " '#- "则点 - 的坐标为& * " 6' '时"$新增% " '#- 的面积为 & "满 足条件# 故填(&" * '!& 6 0 ( " * '!& * " 6' ' ! !方法规律总结" ! 本题考查了平面直角坐标系 中不规则三角形面积的求法'割补法(#同时考查了 根据面积确定点的坐标的能力及分类讨论的思想 ! !变式练习 ! " ! 在平面直角坐标系中#点 " ' # ' $ 的坐标分别为( " ! 6' # . "# # ! 6( # 6. "# $ ! . # 6. " ! 若 以 " ## $ # & 为顶点的四边形为平行四边形#那么点 & 的坐标是 ! 二$分类讨论思想在四边形中的应用 !例 " " ! 如图所示#如果四边形 $&)( 旋转后 能与正方形 "#$& 重合#那么图形所在的平面上可 以作为旋转中心的点共有 个 ! !解析" ! 本题的题设和结论不是唯一确定的" 显然"符合条件的旋转中心必在边 $& 上 ! 可以这样 分类(& . '以 $ 为旋转中心"把正方形 "#$& 顺时针 旋转 ,*5 "可得到正方形 $&)( #& ' '以 & 为旋转中 心"把正方形 "#$& 逆时针旋转 ,*5 "可得到正方形 $&)( #& ( '以 $& 的中点为旋转中心"把正方形 "#$& 旋转 .0*5 "可得到正方形 $&)(! 故此图所在 $' ! 的平面上可以作为旋转中心的顶点共有 ( 个 ! 故答 案为( ! !方法规律总结" ! 解此类问题的关键是审清题 意 ! 只要审清了题意#全面$系统地考虑问题#把握住 了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况# 就可以确定出分类的框架#分类时也能做到标准一 致#条理清楚#就不易造成重复或漏解 ! !变式练习 " " ! 四边形 "#$& 的对角线 "$ 和 #& 相交于点 ' #设有下列条件( ! "#8"& $ " , &"#8,*5 $ # "'8$' # '8&' $ % 矩形 "#$& $ ( 菱形 "#$& # ) 正方形 "#$& #则在下列推理不成 立的是 ! !! " !" !%6) #" !#6( $" !"6) %" "#6% 三$分类讨论思想在一次函数中的应用 !例 # " ! 一次函数 * 87+70 #当 6( ' + ' . 时# 对应的 * 值为 . ' + ' , #则 70 的值是 ! !! " !".& #"6+ $"6& 或 '. %"6+ 或 .& !解析" ! 题目中给出了一次函数图像的一部分 &线段'"当 +86( 时" * 可以取 . 或 , "因此应对参 数