专题4.4 导数与不等式（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题4.4 导数与不等式 【核心素养】 1.不等式问题，主要考查解不等式、不等式的证明、不等式恒成立或不等式存在性问题、由不等式成立求参数问题等，凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 2.将函数、导数与数列、放缩法相结合证明不等式、与三角函数相结合考查函数的性质问题等，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，也体现命题的创新性. 知识点一 与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 知识点二 利用导数证明、解不等式问题 无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝. 常考题型剖析 题型一：具体函数不等式求解 【典例分析】 例1-1.（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例1-2.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 具体函数不等式求解问题，主要利用导数研究函数的单调性，将函数值关系转化成自变量的关系，即转化得到一个代数不等式求解. 【变式训练】 变式1-1.（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是_______________． 题型二：含导数抽象函数不等式求解问题 例2-1.（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（    ） A． B． C． D． 例2-2.（2023·广东广州·统考三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，构造函数的常见类型有： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 若f′(x)>a(a≠0)，则构造函数：h(x)＝f(x)－ax. 若f′(x)±g′(x)>0，则构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)． 若f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，则构造函数F(x)＝f(x)g(x) 若f′(x)g(x)－f(x)g′(x)，则构造可导函数y＝. 【变式训练】 变式2-1.（2023春·河南三门峡·高三校考阶段练习）已知函数的导函数为，若，则关于的不等式的解集为______. 变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的偶函数的导函数为，当x>0时，，且，则不等式的解集为_________________________. 题型三：比较函数值大小 【典例分析】 例3-1．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ） A． B． C． D． 例3-2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 例3-3.（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 比较函数值的大小，通常有三种类型，一是利用函数的单调性或通过引入-1,0,1等中介值完成解答；二是给出看似独立的几个函数值，通过观察其特征，构造函数，应用导数求解；三是给出抽象函数关系，比较函数值大小，一般也要通过构造函数，应用导数求解，构造函数的常见类型和题型二类似. 【变式训练】 变式3-1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为 为函数的导函数，当时， ，且，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2. （2023·全国·高三对口高考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式3-3. （2022年高考全国I卷）设，则（    ） A． B． C． D． 题型四：不等式恒成立求参数 【典例分析】 例4-1.（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是________