第二部分 专题复习(四)四边形的探索与证明-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（沪科版）

#% ! 专题复习"四# ! 四边形的探索与证明 在判断四边形的形状时"要根据各特殊四边形 的判定方法"从定义!边!角!对角线等几个方面入手 寻找判定条件"关键是弄清各特殊四边形之间的关 系 ! 在中考中"有关特殊四边形的计算和证明是考查 的重点"常以解答题的形式出现 ! 考点 ! ! 平行四边形的证明 !例 ! " ! 如图!四边形 +,-0 是平行四边形! 1 ! 6 是对角线 +- 上的两点! + "1 + #! "#求证$ +11-6 & " # #求证$四边形 1,60 是平行四边形 ! !分析" ! # " $通过全等三角形 * +01 0* -,6 的对应边相等证得 +11-6 %或利用平行四边形对 角线的性质"连接 ,0 交 +- 于点 / "证明 * ,/6 0 * 0/1 "从而得出 +11-6! #$根据平行四边形的 判定定理(对边平行且相等的四边形是平行四边形 证得结论%或利用对角线的互相平分的四边形是平 行四边形进行证明 ! !解答" ! "#连接 ,0 交 +- 于点 / ! 在平行四边形 +,-0 中! /+1/- ! /,1/0 ! 8 + "1 + # ! + 0/11 + ,/6 ! 9 * ,/6 0* 0/1 ! 9/11/6 ! 9/+!/11/-!/6 !即 +11-6! " # # 8 + "1 + # ! 901 - ,6! 8 * 0/1 0* ,/6 ! 9011,6 ! 9 四边形 1,60 是平行四边形 ! !方法规律总结" ! 本题综合应用了平行四边形 的性质和判定%要注意区分两者的不同%避免混淆 ! 考点 # ! 矩形的证明 !例 # " ! 如图!已知 +, - 01 ! +,101 ! +61 -0 ! + -1614*;! "#若 + 1-61)*; ! -612 !求 -1 的长& " # #求证$ * +,6 0* 01- & " ) #求证$四边形 ,-16 是 矩形 ! !分析" ! # " $由 )*; 的直角 三角形性质及勾股定理即可解 决%#$由 B$B 判定 * +,6 0* 01- %# ) $先说明四 边形 ,-16 是平行四边形"再判定四边形 ,-16 是 矩形 ! !解答" ! "# 8 + -1614*; ! + 1-61)*; ! -6 12! 9161, ! 9-11 -6 # !16槡 # 1 2 # !,槡 # 槡1, )! " # # 8+, - 01 ! 9 + +1 + 0 ! 在 * +,6 和 * 01- 中! +,101 ! + +1 + 0 ! +61-0 1 2 3 ! 9 * +,6 0* 01- " B$B # ! " ) #由" # #可知$ * +,6 0* 01- ! 9,61-1 ! + +6,1 + 0-1 ! 9 + ,6-1 + 1-6 ! 9,6 - 1- ! 9 四边形 ,-16 是平行四边形 ! 8 + -1614*; ! 9 四边形 ,-16 是矩形 ! !方法规律总结" ! 几个特殊四边形的定义%既 可以作为性质%也可以作为定义%注意体会定义在解 题中的作用 ! 考点 $ ! 菱形的证明 !例 $ " ! 如图!在四边形 +,-0 中! +,1+0 ! -,1-0 ! 1 是 -0 上一点! ,1 交 +- 于 6 !连接 06! " " #证 明$ + ,+- 1 + 0+- ! + +601 + -61 & " # #若 +, - -0 !试证明 四边形 +,-0 是菱形& " ) #在" # #的条件下!试确定 1 点的位置!使 + 1601 + ,-0 !并说明理由 ! !分析" ! # " $利用已知条件和公共边"证得 * +,- 0* +0- "即可证明 + ,+-1 + 0+- %再证 明 * +,6 0* +06 "得到 + +6,1 + +60 "再利用 #& ! 对顶角相等"易知结论%#$由平行线的性质和# " $中 结论"易知 + 0+-1 + +-0 "所以 +01-0 "进而证 得 +,1-,1-01+0 "即可证明结论%# ) $当 ,1 , -0 时"由#$可知 ,-1-0 " + ,-61 + 0-6 "利用 * ,-6 0* 0-6 "证得 + -,61 + -06 "再利用等角 的余角相等即可证明结论 + 1601 + ,-0! !解答" ! "# 8+,1+0 ! -,1-0 ! +-1+- ! 9 * +,- 0* +0- ! 9 + ,+-1 + 0+-! 8+,1+0 ! + ,+61 + 0+6 ! +61+6 ! 9 * +,6 0* +06 ! 9 + +6,1 + +60! 又 8 + -611 + +6, ! 9 + +601 +