第三部分 思想方法(一)转化思想-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（沪科版）

$! 第三部分 思想方法篇 思想方法"一# ! 转化思想 转化思想是数学学习的重要方法"贯穿于初中 数学的始终"是分析问题和解决问题的一个重要的 基本思想"就解题的本质而言"解题即意味着转化" 把生疏问题转化为熟悉问题"抽象问题具体化"一般 问题特殊化"把未知条件转化为已知条件"把一个综 合问题转化为几个基本问题等"从而使复杂问题迎 刃而解 ! 一#转化思想在二次根式中的应用 !例 ! " ! 已知 % 1 #"槡 !+/ +!#槡 "!)!求#" / % 的值 ! !分析" ! 由于只给出了关于 " " % 的一个等式"两 个未知数"一般情况下不能求出 " " % 的具体数值"考 虑二次根式有意义的条件"转化成解不等式组 ! !解答" ! 依题意知! #"!+ $ * ! +!#" $ * 0 ! 解得+ # % " % + # !所以 "1 + # !代入求出 % 1!) !所以当 "1 + # ! % 1!) 时! #"/ % 1#3 + # / " !) # 1#! !方法规律总结" ! 解决二次根式的问题首先要 考虑被开方数必须是非负数%这时根式才有意义%在 一个等式中含有两个字母的二次根式问题%一般地转 化为被开方数的取值范围列不等式组就能解决问题 ! 二#转化思想在勾股定理中的应用 !例 # " ! 如图!已知四 边 形 +,-0 中! + , 1 4*; ! +,1) ! ,-1, ! -01 "# ! +01") !求四边形 +,-0 的面积 ! !分析" ! 要求四边形 +,-0 的面积"可以转化为 两个三角形面积之和"因为 + ,14*; "所以连接 +- " 则 * +,- 为直角三角形"同时"根据勾股定理的逆定 理可证明 * +-0 也为直角三角形"故四边形 +,-0 的面积等于 <= * +,- 和 <= * +-0 的面积之和 ! !解答" ! 连接 +- !在 <= * +,- 中! +- # 1+, # /,- # 1) # /, # 1#+ ! 9+-1+! 在 * +-0 中! 8+- # /-0 # 1+ # /"# # 1"54 ! +0 # 1") # 1"54 ! 9+- # /-0 # 1+0 # ! 9 + +-014*;! 故 9四边形 +,-0 19 * +,- /9 * +-0 1 " # +, % ,-/ " # +- % -01 " # 3)3,/ " # 3+3"#15/)*1)5! !方法规律总结" ! 根据题目所给数据的特征% 联想勾股定理%连接 +- %可实现四边形向三角形的 转化%并运用勾股定理的逆定理可判定 * +-0 是直 角三角形 ! 三#转化思想在一元二次方程中的应用 !例 $ " ! 阅读材料解答问题 ! 为解方程"# !" # # !+ " # !" # /,1* !我们可 以将 " # !" 视为一个整体!设 " # !"1 % !则"# !" # # 1 % # !原方程化为 % # !+ % /,1* "#!解得 %" 1, ! %# 1"! 当 % 1, 时! " # !"1, ! 9" # 1+ ! 9" 槡1. +! 当 % 1" 时! " # !"1" ! 9" # 1# ! 9" 槡1. #! 9 原方程的解为$ " " 槡1 +!"# 槡1! +!") 槡1 #!", 槡1! #! 解答问题$ "#填空$在由原方程得到方程"#的过程!利用 !! ! ! ! ! 方 法 达 到 降 次 的 目 的!体 现 了 的数学思想 ! " # #解方程$ " , !" # !51*! !分析" ! 由给出阅读材料"提炼出解题思路技 巧(通过换元"将高次的方程转化为一元二次方程 ! $" ! !解答" ! "#换元!转化& " # #设 " # 1 % !则此方程化为$ % # ! % !51* ! 解得$ %" 1) ! %# 1!# ! 又 8" # $ * ! 9 % 1) !即 " # 1)!9" 槡1. )! 9 原方程的根是 " " 槡1 )!"# 槡1! )! !方法规律总结" ! 本题通过换元%将高次方程 转化为一元二次方程进行解决 ! 四#转化思想在多边形中的应用 !例 % " ! 一个多边形恰好有三个内角是钝角!这 样的多边形边数的最大值是 " !! # $%+ !!!! &%5 !!!! '%- !!!! (%2 !解析" ! 有三个内角是钝角"则与这三内角相 邻的外角是锐角"而多边形的外角和等于 )5*; "所以 外角中最多有三个角是钝角"因此"多边形的最大边 数为 5! 故选 &! !方法规律总结" ! 本题通过转化%将多边形的 内角问题转化为外角问题%根据多边形的外角始终 为 )5*; 求出问题的答案 ! !例