第三部分 思想方法(三)方程思想-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（沪科版）

$( ! 思想方法"三# ! 方程思想 方程思想"是从问题的数量关系入手"运用数学 语言将问题中的条件转化为数学模型#方程!不等式 或方程与不等式的混合组$"然后通过解方程#组$或 不等式#组$来使问题获解 ! 一#方程思想在二次根式中的应用 !例 ! " ! 已知 # ' $ 为有理数! & ' 分别表示 +! 槡-的整数部分和小数部分!且#&'/$' # 1" !则 ##/ $1 ! !分析" ! 首先对 槡+! -估算出大小"从而求出其 整数部分 & "其小数部分用 槡+! -!& 表示!再分别 代入 #&'/$' # 1" 进行计算 ! !解答" ! 因为 # #槡-#)!所以## 槡+! -#)!故 &1# ! ' 槡 槡1+! -!#1)! -! 把 &1# ! ' 槡1)! -代入#&'/$' # 1" 得! # " )! 槡-#/" 槡)! -# # $1"! 化简得" 5#/"5$ # 槡! -"##/5$#1"! 等式两边相对照!因为结果不含槡-! 所以 5#/"5$1" 且 ##/5$1*! 解得 #1"!+ ! $1!*!+! 所以 ##/$1)!*!+1#!+! !方法规律总结" ! 对于数的性质要分清%无理 数是不能和有理数相等的%所以遇到这类问题%应该 是有理数部分与有理数部分相等%无理数部分与无 理数部分相等%列出方程或方程组解答 ! 二#方程思想在实际问题中的应用 !例 # " ! 随着铁路客运量的不断增长!重庆火车 北站越来越拥挤!为了满足铁路交通的快速发展!该 火车站从去年开始启动了扩建工程!其中某项工程! 甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 + 个月!并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于 两队单独完成所需时间之和的 5 倍 ! "#求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月+ " # #若甲队每月的施工费为 "** 万元!乙队每月 的施工费比甲队多 +* 万元 ! 在保证工程质量的前提 下!为了缩短工期!拟安排甲乙两队分工合作完成这 项工程 ! 在完成这项工程中!甲队施工时间是乙队施 工时间的 # 倍!那么!甲队最多施工几个月才能使工 程款不超过 "+** 万元+ "甲乙两队的施工时间按月 取整数# ! !分析" ! # " $根据&两队单独完成所需时间的乘 积 1 两队单独完成所需时间之和的 5 倍'列方程求 解%#$根据&甲队工程款 / 乙队工程款 % "+** 万 元'列不等式求解 ! !解答" ! "#设乙队单独完成所需时间为 " 个 月!则甲队单独完成所需时间为" /+ #个月!由题意 得$ " " /+ # 15 " /+/" #!解得 " " 1!) # * "舍 去#! " # 1"*! 答$甲队单独完成这项工程需 "+ 个月!乙队单 独完成这项工程需 "* 个月 ! " # #设甲队施工 # 个月!则乙队施工" # # 个月!由 题意得$ "**#/ " # # " **/+* # % "+** !解得 # % 2 , - ! 8# 为整数! 9# 最大取 2! 答$甲队最多施工 2 个月才能使工程款不超过 "+** 万元 ! !方法规律总结" ! 在用方程!或不等式"解决实 际问题时%正确理解题意%并从中找到等量关系!或 不等关系"是解题的关键 ! 三#方程思想在勾股定理中的应用 !例 $ " ! 如图! + ' , 两座 城市相距 "** 千米!现计划要 在两座城市之间修筑一条高 等级公路"即线段 +, # ! 经测 量!森林保护区中心 . 点在 + 城市的北偏东 )*; 方向! , 城市的北偏西 ,+; 方向上 ! 已 知森林保护区的范围在以 . 为圆心! +* 千米为半径的 圆形区域内 ! 请问$计划修筑的这条高等级公路会不 会穿越森林保护区+ 为什么+ $) ! !分析" ! 根据题意"已知线段 +, 的长"求点 . 到 +, 的距离"过点 . 作 .0 , +, " 0 是垂足 ! 这样 恰好有两个直角三角形"但是两个直角三角形恰好 将 +, 分割开了"只有设未知数建立方程来解决 ! 解 出 .0 的长 ! 从而判断出这条高速公路会不会穿越 保护区 ! !解答" ! 过点 . 作 .0 , +, !垂足为 0 !由题可 得 + +.01)*; ! + ,.01,+; !设 +01" ! .+1#" ! 在 <= * +.0 中! .0 槡1 )"! 在 <= * .,0 中! ,01.0 槡1 )"! 槡9 )"/"1"**!"1+*"槡)!"#! 9.0 槡1 )"1+*" 槡)! )#.5)!,"+*! 9 不会穿过保护区 ! 答$森林保护区的中心与直线 +, 的距离大于 保护区的半径!所以计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区 ! !方法规律总