第三部分 思想方法(二)分类讨论思想-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（沪科版）

$$ ! 思想方法"二# ! 分类讨论思想 在解答某些数学问题时"因为存在一些不确定 的因素"解答无法用统一的方法或结论给出统一的 表述"也就是说有多种可能情况不能一概而论"得出 各种情况下相应的结论"这种解题方法叫做分类讨 论法"它是初中数学中非常重要的思想方法 ! 正确的 分类必须周全"要做到不重不漏"分类的原则是( # " $分类中的每一部分互相独立%#$一次分类 必须是同一个标准%# ) $分类讨论应逐级讨论 ! 为此" 我们利用分类讨论方法解题时"需要认真审题"全面 考查"这样才能获得完整的答案 ! 一#分类讨论思想在二次根式中的应用 !例 ! " ! 化简$ " #/" #槡 # / " #/# #槡 # ! !分析" ! 此题先把 # /" $槡 # / # /# $槡 #化为 #/" / #/# "然后根据 # 的不同取值进行分类 讨论 ! !解答" ! " #/" #槡 # / " #/# #槡 # 1 #/" / #/# ! 当 # " !" 时!原式 1#/"/#/#1##/) & 当 !# % # % !" 时!原式 1!#!"/#/#1" & 当 # # !# 时!原式 1!#!"!#!#1!##!)! !方法规律总结" ! 由二次根式的性质可知*当 # $ * 时% #槡 # 1# &当 # # * 时% #槡 # 1!#! 因此解答此 题一定要对被开方数进行分类讨论 ! 其实数学里面 的许多问题%只有用分类讨论的思想才能保证解答 问题的完整%做到'不重不漏( ! 二#分类讨论思想在勾股定理中的应用 !例 # " ! 在 * +,- 中! ,-1# ! +-1$ ! +,1( ! 设 ( 为最长边 ! 当 # # /$ # 1( # 时! * +,- 是直角三角 形&当 # # /$ # & ( # 时!利用代数式 # # /$ # 和 ( # 的大 小关系!探究 * +,- 的形状"按角分类# ! "#当 * +,- 三边长分别为 5 ! 2 ! 4 时! * +,- 为 三角形&当 * +,- 三边长分别为 5 ! 2 ! "" 时! * +,- 为 三角形 ! " # #猜想$当 # # /$ # ( # 时! * +,- 为锐 角三角形&当 # # /$ # ( # 时! * +,- 为钝角 三角形 ! " ) #判断当 #1# ! $1, 时! * +,- 的形状!并求 出对应的 ( 的取值范围 ! !分析" ! # " $从熟悉的勾股数 5 ! 2 ! "* 入手"画 出边长为 5 ! 2 ! "* 的直角三角形"以运动的观点观察 并猜想出结果%# ) $先由三角形三边关系确定 ( 的范 围"再根据猜想分类讨论"确定 ( 的具体范围 ! !解答" ! "#锐角!钝角&" # # " ! # & " ) # 8#1# ! $1, ! 9# # ( # 5 ! "; 当 ( $ , 时!当 # # /$ # 1( # ! 9( 槡1# +时!*+,-是直角三角形! 9 当 , % ( # 槡# +时!*+,-是锐角三角形! 当 槡# +#(#5时!*+,-是钝角三角形& #; 当 # # ( # , 时!当 # # /( # 1$ # ! 9( 槡1# )时!*+,-是直角三角形! 当 # # ( # 槡# )时!*+,-是钝角三角形! 当 槡# )#(#,时!*+,-是锐角三角形! 综上!当 ( 槡1# +或 槡# )时!*+,-是直角三角 形!当 槡# )#(# 槡# +时!*+,-是锐角三角形! 当 槡# +#(#5或##(# 槡# )时!*+,-是钝角 三角形 ! !方法规律总结" ! 本题先从具体的三角形探求 出边长与三角形形状的关系%然后对 ( 的取值进行 分类讨论%求出字母的取值范围 ! 三#分类讨论思想在一元二次方程中的应用 !例 $ " ! 关于 " 的方程" #!+ # " # !,"!"1* 有 实数根!则 # 满足 " !! # $%# $ " !!!!!! &%# " " 且 # & + '%# $ " 且 # & + (%# & + !解析" ! 本题需要分类讨论"当 #!+1* 即 #1 + 时"方程是一元一次方程"有实数根 "1! " , %当 # $% ! !+ & * 时" '$ * 时"方程有实数根"即# !, $ # !, # !+ $# !" $ 1,#!, $ * "所以 # $ "! 综上所述"得 # $ " "故选 $! !方法规律总结" ! 一元二次方程的根的情况可 以由根的判别式确定%但本题没有说所给的方程就 是一元二次方程%所以要分类讨论 ! 四#分类讨论思想在四边形中的应用 !例 % " ! 已知正方形 +,-0 !点 . 是对角线