第二部分 专题复习(四)平行四边形的性质与判定-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（北师大版）

$$ ! 专题复习!四" ! 平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质与判定是四边形的重点内 容!特别是运用平行四边形的性质解决与角或线段 有关的问题!更是中考的热点内容 ! 解决平行四边形 的问题常常借助三角形有关的知识!体现了数学转 化思想 ! 考点 ! ! 平行四边形的性质 !例 ! " ! 如图! 3 "#$% 中! & ! ' 是对角线 #% 上两点!且 #&/%'! " + #图中共有 对全等三角形) " . #请写出其中一对全等三角形( !!!!!! !!! !并加以证明 ! !解析" ! # + $根据平行四边形的性质可得对边 平行且相等!可得到判定三角形全等的元素!所给的 图形中有 # 对全等三角形 ! # . $ !" "#& #" $%'! 证明&在 3 "#$% 中! "# % $% ! "#/$% ! 6 $ "#&/ $ $%'! 又 5#&/%' ! 6 " "#& #" $%' # B!B $% "" "%& #" $#'! 证明&在 3 "#$% 中! "% % #$ ! "%/#$ ! 6 $ "%&/ $ $#'! 5#&/%' ! 6#%4#&/#%4%' !即 #'/%&! 6 " "%& #" $#' # B!B $ ! #" "#% #" $%#! 证明&在 3 "#$% 中! "#/$% ! "%/#$ ! 又 5#%/#% ! 6 " "#% #" $%# # BBB $ ! !方法规律总结" ! 本题是一道结论探索型问 题#首先要用好&已具备什么条件#还需要什么条件' 这一常规解题思考范式#由 "#$% 是平行四边形来 提供判定三角形全等的元素 ! 考点 " ! 平行四边形的判定 !例 " " ! 如 图!已 知 #& % %' ! $ "%'/ $ $#& ! "'/$&! 求证(四边形 %&#' 是平行四边形 ! !解析" ! 思路 + &已知 #& % %' !所 以只要通过证明 " "%' #" $#& !从而 推出 #&/%' !即可利用一组对边平行且相等的四 边形!是平行四边形来证明 ! 思路 . &也可先证明 " "%' #" $#& !再证明 " "%& #" $#' !最后证 明 %& % #' !但比较两种思路!以第一种思路要简单 快捷 ! 证明& 5#& % %' ! 6 $ "'%/ $ $&#! 又 5 $ "%'/ $ $#& ! "'/$& ! 6 " "%' #" $#&!6%'/#&! 又 #& % %' ! #&/%' ! 6 四边形 %&#' 是平行四边形 ! !方法规律总结" ! 判定平行四边形共有四种方 法 ! 一是定义%两组对边分别平行的四边形是平行四 边形(另外有三个判定定理%一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四 边形#证明时要根据已知条件#选择合适的判定方 法 ! 考点 # ! 平行四边形性质与判定的综合应用 !例 # " ! 如图! 3 "#$% 中! $ "#$/)$% ! & ! ' 分别在 $% 和 #$ 的延长线上! "& % #% ! &' & #$ ! &' 槡/ #!则 "# 的 长 是 ! !解析" ! 5 四边形 "#$% 是平行四边形! 6"# /$% ! "# % $%!5 $ "#$/)$% ! 6 $ &$' / $ "#$/)$%!5&' & #$ ! &' 槡/ #!由勾股定理可得 $&/. %又 5"& % #% ! "# % %& ! 6 四边形 "#%& 是平行四边形 !6"#/%& ! 6%&/$%/ + . $&/+! $% ! 6"#/+! 故答案为 +! !方法规律总结" ! 解决这类题目首先要求熟练 掌握平行四边形的性质及判定等知识#还要结合数 形结合的思想熟练进行线段间的数量关系的转换 ! !例 $ " ! 如图!已知 3 "#$% !过 " 作 "* & #$ 于点 * !交 #% 于点 & !过 $ 作 $+ & "% 于点 + !交 #% 于 ' !连接 "' ! $&! 求证(四边形 "&$' 为平行 四边形 ! !解析" ! 证明&在 3 "#$% 中! "% % #$ ! "#/ $% ! $ "#$/ $ "%$ ! 6 $ "#%/ $ $%#! 又 5"* & #$ ! $+ & "% ! 6 $ #"*/ $ %$+! 6 " "#& #" $%'! 6"&/$' ! $ "&#/ $ $'%! 6 $ "&'/ $ $'&!6"& % $'! 6 四边形 "&$' 为平行四边形 ! !方法规律总结" ! 充分分析题目条件#根据平 行四边形的性质和判定的知识挖掘能够得到的结 果#然后