第20讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数-2024高三一轮复习讲义

第20讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、 基础知识 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕其　　　　旋转到另一条射线所形成的图形.  (2)分类:按旋转方向分为　　　　、　　　　和零角;按终边位置分为　　　　和轴线角.  (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=　　　　　　　　　　.  (4)象限角 图4-20-1 (5)轴线角 图4-20-2 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad.  (2)公式: 角α的弧度数的绝对值 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°= rad,②1 rad=° 弧长公式 弧长l=　　　　  扇形面积公式 S=lr=　　　　  3.任意角的三角函数 (1)定义:对于任意角α,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=,则sin α=　　　　,cos α=　　　　,tan α=(x≠0).  (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图4-20-3中的,,分别称为角α的　　　　、　　　　和　　　　.正弦线的起点都在　　　　上,余弦线的起点都是　　　　,正切线的起点都是　　　　.  图4-20-3 (3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图4-20-4). 图4-20-4 2、 常用结论 (1)若α,β,γ,θ分别为第一、二、三、四象限角,则,,,的终边所在的象限如图4-20-5所示: 图4-20-5 (2)若x∈（0,）,则tan x>x>sin x. 3、 分类探究 探究点一　象限角及终边相同的角 例1 (1)角-2020°是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)集合中的角的终边所在的区域(阴影部分)是 (　　) 图4-20-6 (3)已知α是第三象限角,且|cos |=-cos ,则是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [总结反思] (1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同; (2)要求角β的终边所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α的终边所在的象限即为角β的终边所在的象限. 变式题 (1)若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是 (　　) A.α|α=2kπ-,k∈Z B.α|α=2kπ+,k∈Z C.α|α=kπ-,k∈Z D.α|α=kπ-,k∈Z (2)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边在如图4-20-7所示的阴影部分内(不包括边界),则角α的所有取值的集合为　　　　　　　　　　.  图4-20-7 探究点二　扇形的弧长、面积公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? [总结反思] (1)利用扇形的弧长和面积公式(l=|α|R,S=lR)解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. (3)解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 当周长C为定值时可得面积S=(C-2R)R=-R2+CR,当面积S为定值时可得周长C=+2R. 变式题 (1)(多选题)已知某扇形的面积为 cm2,若该扇形的半径为r cm,弧长为l cm,且满足2r+l=7,则该扇形圆心角的大小可能是 (　　) A. B.5 C. D.2 (2)希波克拉底是古希腊医学家,他被西方尊为“医学之父”,除了医学,他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题,如图4-20-8所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB= ,AC=BC=1,则该月牙形的面积为 (　　) 图4-20-8 A.+ B.- C.+ D.- 探究点三　三角函数的定义 角度1　三角函数定义的应用 例3 (1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ-sin2θ= (　　) A.- B.- C. D. (2)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,且tan α=.若角α的终边上有一点P,其纵坐标为-4,有下列三个结论:①点P的横坐标是6;②cos α=;③sin 2α>0.则上述结论中,正确的个数为 (　　) A.0 B.1 C