第21讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-2024高三一轮复习讲义

第21讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1、 基础知识 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:　　　　　　　　　.  (2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.  2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 公式八 角 α+2kπ (k∈Z) -α π -α π+α -α +α +α -α 与角α终边的关系 相同 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 关于 y=x对称 正弦 sin α 　   sin α 　   cos α cos α 　   　   余弦 cos α cos α 　   　   sin α 　   　   　   正切 tan α 　   -tan α 　   口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 记忆规律 奇变偶不变,符号看象限 2、 常用结论 1.同角三角函数关系式的常用变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin α cos α. (2)sin α=tan α cos α（α≠+ kπ,k∈Z）. (3)sin2α==; cos2α==. 2.sin(kπ+α)=(-1)k sin α(k∈Z);cos( kπ +α)=(-1)kcos α(k∈Z). 3、 分类探究 探究点一　三角函数的诱导公式 例1 (1)cos -sin = (　　) A.0 B. C. D. (2)若角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点（-,）,则sin（+θ)+cos(π -θ)+tan(2π-θ)=　　　　.  [总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. (2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角为第几象限角,防止符号及三角函数名出错. (3)常见的互余的角:-α与+α,+α与-α,+α与-α等;常见的互补的角:+α与-α,+α与-α,+α与-α等. 变式题 (1)在平面直角坐标系x O y中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=　　　　.  (2)若sin(α+15°)=,则cos(α+105°)=　　　　.  探究点二　同角三角函数的基本关系及应用 角度1　公式的灵活运用 例2 (1)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于 (　　) A. B.- C. D.- (2)已知=2,则tan α= (　　) A.- B. C. D.2 [总结反思] (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系=tan α和平方关系1=sin2α+cos2α. (2)注意根据角的终边所在的象限选取正确的符号. 角度2　切弦互化 例3 (1)已知=7,则函数f(x)=sin2x+2tan α|cos x|-6的最小值为 (　　) A.-5 B.-3 C.- D.-1 (2)若4sin α-3cos α=0,则sin 2α+2cos2α= (　　) A. B. C. D. [总结反思] 把正弦、余弦化成正切的结构形式进行求值的常见结构有: ①sin α,cos α的一次齐次分式（如）,解决此类问题时,用分子分母同时除以cos α,将其转化为关于tan α的式子,进而求解. ②sin α,cos α的二次齐次式(如asin2α+b sin α cos α+ccos2α),解决此类问题时,将原式看成分母是1的表达式,把1换成“sin2α+cos2α”,然后分子分母同时除以cos2α,将其转化为关于tan α的式子,进而求解. 角度3　和积转换 例4 已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-,则sin x-cos x=　　　　.  [总结反思] sin α+cos α,sin α -cos α,sin α cos α三者之间常利用(sin α±cos α)2=1±2sin α cos α进行和积转换,可以知一求二. 4、 同步作业 1.设α∈R,则下列结论中错误的是 (　　) A.sin(π+α)=-sin α B.cos(π -α)=-cos α C.cos（+α）=-sin α D.tan(-α -π)=tan