第22讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2024高三一轮复习讲义

第22讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、 基础知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S(α±β):sin(α±β)=　　　　　　　　　.  (2)公式C(α±β):cos(α±β)=　　　　　　　　　.  (3)公式T(α±β):tan(α±β)=　　　　　　　　　.  2.两角和与差的正切公式的变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α tan β). 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α:sin 2α=　　　　　　.  (2)公式C2α:cos 2α=　　　　　　=　　　　　=　　　　　.  (3)公式T2α:tan 2α=　　　　　　.  2、 分类探究 探究点一　和、差、倍角公式的简单应用 例1 (1)已知α为锐角,sin（-α）=,则cos α= (　　) A.- B.+ C.+ D.- (2)设α,β满足tan（α+）=3,tan（β+）=2,则tan(α+β)= (　　) A.-1 B.- C. D.1 (3)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= (　　) A. B. C. D. [总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角之间互相转换的目的. 变式题 (1)已知角α的终边在直线y=x上,则tan(-α)= (　　) A. B.- C.7 D.-7 (2)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (3)若sin(45°+α)=,则sin 2α=　　　　.  探究点二　和、差、倍角公式的逆用与变形 例2 (1)cos 42°cos 18°-cos 72°sin 42°=(　　) A. B. C.- D.- (2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan A·tan B,则△ABC的面积为 (　　) A. B.3 C. D. (3)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.  [总结反思] 在利用两角和与差的三角函数公式或二倍角的三角函数公式进行恒等变形时,记住一些常见变形可起到事半功倍的效果. 变式题 (1)若cos α=-,α是第三象限角,则= (　　) A.2 B. C.-2 D.- (2)(1+tan 19°)·(1+tan 26°)=　　　　.  探究点三　角的变换问题 例3 (1)已知sin α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β= (　　) A. B. C. D. (2)已知sin(-α)=,则cos(2α+)= (　　) A.- B. C. D.- [总结反思] 常见的角的变换: ±2α=2(±α),2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-(-α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,(+α)+(-α)=等. 变式题 (1)若tan(α+β)=3,tan β=2,则= (　　) A. B.7 C.- D.-7 (2)若sin(α+)=,且α∈(-,),则cos α的值为 (　　) A. B. C. D. 3、 同步作业 1.若sin α=-,α∈(-,0),则sin 2α= (　　) A.- B. C. D.- 2.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 (　　) A.- B.- C. D. 3.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(2,-1)在角α的终边上,则sin(-2α)= (　　) A.- B. C.- D. 4.若tan α=3,tan(2α-β)=-1,则tan(α -β)= (　　) A.2 B.-2 C. D.- 5.设a=sin 18°cos 44°+cos 18°sin 44°,b=2sin 29°cos 29°,c=cos 30°,则有 (　　) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 6.已知θ∈(0,π),cos2θ+cos22θ=1,则θ= (　　) A., B., C.,, D.,, 7.=　　　　.  8.已知sin(α+)=-,则cos 2α= (　　) A.- B. C.- D. 9.已知α为锐角,且sin(-α)=,则tan(-2α)的值为 (　　) A. B.- C.- D.-或- 10.设sin 2α-sin α=0,α∈(-,0),则tan 2α的值是 (　　) A. B.- C.