第23讲　简单的三角恒等变换-2024高三一轮复习讲义

第23讲　简单的三角恒等变换 1、 基础知识 1.半角公式 (1)公式:sin =±. (2)公式:cos =±. (3)公式:tan =±(符号由角的范围确定). 2.常用的部分三角公式 (1)1-cos α=　　　　,1+cos α=　　　　.(升幂公式)  (2)1±sin α=　　　　　　　.(升幂公式)  (3)sin α=,cos α=　　　　　　,tan α=　　　　　　.(万能公式)  (4)asin α+bcos α=　　　　,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)  3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan . (4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 2、 分类训练 探究点一　三角函数式的化简 例1 (1)2+= (　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2 (2)化简:cos（-α）cos(2π-β)-sin（π -α）sin(π+β)=　　　　　　.  [总结反思] (1)三角函数式的化简要遵循的“三看”原则: ①一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式; ②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; ③三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等. (2)三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂与升幂.余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等. 变式题 已知α∈(0,π),化简: =　　　　.  探究点二　三角函数式的求值 角度1　给值求值 例2 已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= (　　) A. B. C. D. [总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值),求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系. 变式题 (1)已知0<α<<β<π,又sin α=,cos(α+β)=-,则sin β= (　　) A.0 B.0或 C. D.0或- (2)已知tan(+α)=-2,则=　　　　.  角度2　给角求值 例3 sin 25°cos 20°-cos 155°sin 20°=(　　) A.- B. C.- D. [总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 求值: =　　　　.  角度3　给值求角 例4 已知cos（α+)=,α∈(0,). (1)求cos α的值; (2)若tan(α+β)=,β∈(0,),求β的值. [总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则: (1)已知正切函数值,则选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围为(-,),则选正弦函数较好. 变式题 已知cos α=,cos(α-β)=,若0<β<α<,则β=　　　　.  探究点三　三角恒等变换的综合应用 例5 已知函数f(x)=sin xcos x-sin2(x+)+,x∈R.若α,β∈(0,),且f(+)=,f(-)=-,求sin(α+β)的值. [总结反思] (1)进行三角恒等变换时要抓住:变角、变函数名称、变结构.尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用. (2)把y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ)的形式,可进一步研究函数的周期、单调性、最值等. 变式题 已知向量a=(cos +sin ,2sin ),b=(cos -sin ,cos ),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时x的取值集合; (2)若α,β为锐角,cos(α+β)=,f(β)=,求f(α+)的值. 3、 同步作业 1.= (　　) A. B.- C.-1 D.1 2.已知α为锐角,sin(α-)=,则sin α= (　　) A. B. C. D. 3.设sin(α+)=-cos α,则cos(-2α)= (　　) A.- B. C.- D. 4.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 (　　) A. B. C.- D.- 5.已知=,则sin 2x等于 (