专题06 一元二次方程根的分布-2024高一第一学期初高中衔接

专题06 一元二次方程根的分布 一元二次方程问题主要在于等价转化，利用一元二次函数与横轴的交点的横坐标，结合图形得充分条件，从而得到简单的解决。 知识梳理 一、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。 1.设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。 2. 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根， 则时，有; 时，有 时，有 二、设一元二次方程的两实根为，且，根的分布情况： 解决问题的途经：（1）开口方向；（2）根的判别式；（3）对称轴的位置；（4）端点处的函数值的符号。 1. 方程有两个正根： 代数方法 例. 关于x的一元二次方程有两个正实数根，则q的取值范围是（  ） A． B． C．或 D． 【详解】因为一元二次方程有两个正实数根， 所以，解得，故选：D 练习．关于的方程有两个正实数根，求的取值范围． 2. 有两个负根： 代数方法 例．关于x的方程当m分别在什么范围去取值时，方程的两根同负. 【详解】若关于x的方程有两个负根， 则，解得， 所以m的取值范围为-11<m≤-2. 练习．若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________. 3. 有一个正根和一个负根： 例．若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得，故选：A 练习．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根； 4.方程两根都小于m： 代数方法 几何方法 例．已知关于x的方程． (1)若方程无实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个小于的实数根，求实数m的取值范围． 【分析】（1）一元二次方程无实根则判别式小于0即可得解； （2）若此方程有两个根均在，利用根的分布列出不等式组即求实数m的取值范围． 解：（1）因为方程无实数根， 所以，解得， 即实数m的取值范围为. （2）设, 由题意则需，解得，故的取值范围为. 练习．已知关于的一元二次方程. (1)若方程有两个不等实数根，求的取值范围； (2)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (3)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 5.方程两根都大于m： 代数方法 几何方法 例．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可. 【详解】令 由题可知： 则，即 故选：C 练习．已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6. 方程一根大于m另一根小于m： 代数方法 几何方法 例．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布情况，结合一元二次不等式的求解，列式计算即可. 【详解】令， 则， 由题可知，，且， 即，解得， 故所有选项中满足题意的的值是：. 故选：B. 练习．1.关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（ ） 2．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7.方程两根都大于m且都小于n： 例．关于的方程满足两个根都在内，求的取值范围． 【答案】 【详解】若方程的两个根都在内，则，解得 练习．若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 8. 例．关于的方程满足一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【详解】若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 练习．若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________． 9. 例．关于的方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围． 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 练习．已知关于x的方程．当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 10.有且仅有一根在(m ，n)内 例．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为