专题03 因式分解-2024高一第一学期初高中衔接

专题03 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法,十字相乘法, 分组分解法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 1、 提公因式法 例 因式分解： ； 解： 练习：因式分解： 1. 2．； 3． 4．； 5． 2、 公式法 例 因式分解：（1）； (2). 解：（1）． （2）． 练习： 因式分解： 1. 2． 3. ． 4. ． 5．． 6．； 7．． 8．若多项式能用完全平方公式分解因式，则m的值是_________________ 9．已知二次根式，则化简后的结果为___________________ 10. 11． 12． 13．； 14. 15. 3、 十字相乘法 例．分解因式： （1） （2） 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴； 练习：分解因式： 1. ． 2．． 3． 4．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 4、 分组分解法 例．分解因式： _____． 解： ． 练习 分解因式： 1． ___________． 2．___________． 3．=___________． 能力提升 例 1．已知关于x的多项式因式分解后有一个因式是． (1)求m的值； (2)将该多项式因式分解． 【分析】（1）由于x的多项式分解因式后有一个因式是，所以当时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值； （2）把m的值代入，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵x的多项式分解因式后有一个因式是， 当时多项式的值为0， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 2．已知是多项式的因式，则 ______ ． 【分析】根据题意，，根据整式的乘法求得，，进而得出的值，根据负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵是多项式的因式， ∴设 ∵ ∴ ∴①，，②，③ 由①②得④， 由③④得， 代入解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝___代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-