第13讲 一次函数的应用（5种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第13讲 一次函数的应用（5种题型） 【知识梳理】 一．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 二．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 三．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 四．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 五．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 【考点剖析】 一．一次函数与一元一次不等式 1．（2022秋•无为市校级月考）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题： （1）求方程的解； （2）求不等式＜0的解集； （3）若﹣2≤x≤4，求y的取值范围． 2．（2022秋•亳州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B（2，0），与y轴交于点A（0，5），与正比例函数y＝mx的图象交于点C，且点C的横坐标为 （1）求一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝mx的解析式； （2）结合图象直接写出不等式0＜kx+b＜mx的解集． 3．（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2． （1）求点B的坐标及k的值； （2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积； （3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集． 二．一次函数与二元一次方程（组） 4．（2022秋•蚌埠期中）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中△APB的面积． 5．（2021秋•大观区校级期中）如图，直线y1＝x+3与直线y2＝mx+交于点M（﹣1，2），与x轴分别交于点A，B，与y轴分别交于C，D． （1）根据图象写出方程组的解是　　 ． （2）根据函数图象写出不等式x+3≤mx+的解集　 ． （3）求直线AC，直线BD与x轴围成的△ABM的面积． 三．两条直线相交或平行问题 6．（2022秋•全椒县期中）已知一次函数与的图象相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）已知一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，若直线l经过点P和线段AB的中点C，求直线l的函数表达式． 7．（2022秋•霍邱县期中）直线y