第二部分 专题复习(二)整式乘法与因式分解及其应用-【暑假总复习】2023年七年级初一数学暑假衔接期末复习（湘教版）

## ! 专题复习!二" ! 整式乘法与因式分解及其应用 本专题包括整式乘法和因式分解两个板块 ! 整 式乘法与因式分解是两个互逆的过程!是以后进一 步学习代数式化简的基础!同时也是中考的重要内 容 ! 因式分解常以选择题和填空题呈现!整式的乘法 多以选择"计算为主 ! 重点是理解和掌握运用运算法 则 ! 在综合运算中!要注意运算的顺序!准确地运用 运算的法则进行化简 ! 考点 ! ! 概念与法则的理解和运用 !例 ! " ! 下列式子变形是因式分解的是 " !! # !" % *1"#/$" " *1 # #/ '" % *1"#/$ " *% #" *& # )" " *% #" *& # $" % *1"#/ +" % *1"#/$ " #% #" #& # !解析" ! ! 选项的右边是和的形式!所以不是 因式分解$ ' 选项满足由多项式和差形式化为乘积 形式!等号的左边和右边相等$ ) 选项是将乘积的形 式化成和差的形式!是多项式乘法而不是因式分解$ + 选项'看起来(满足由多项式和差形式化为乘积形 式!但是等式的左边与右边不等 " 故选 '" !方法规律总结" ! 因式分解的二步曲'一提公 因式#二套公式 ! 如果所给多项式有公因式#则先提 取公因式(然后套公式#若多项式只有两项#考虑用 平方差公式分解(若满足%首平方#尾平方#二倍乘积 在中央&#则考虑用完全平方公式分解因式 ! 另外要 特别注意#分解因式一定要彻底#即分解后不再含有 公因式或公式 ! !例 " " ! 下列运算正确的是 " !! # !"&%#%%$1% % '" " %% # & $/% & )" " #( # % $" % #( +" % *,$ " #% #" *% # !解析" ! 把四个选项逐个与公式法则相对照! 从而找出正确的选项 !! 选项属于合并同类项!只把 系数相加减!字母及字母的指数不变!结果应为 1% ! 故选项错误$ ' 选项属于积的乘方!应把积中每一个 因式分别乘方!结果应为 .% & !故选项错误$ ) 选项属 于完全平方公式!展开结果为三项!结果应为 " % # %"#( !故选项错误$ + 选项属于用平方差公式进行 因式分解!两个数的平方差!等于这两个数的和与这 两个数的差的积!正确!故选 +! !方法规律总结" ! 概念与法则的运用#在解题 时要弄清法则#不要相互混淆 ! 考点 " ! 利用整式乘法或因式分解进行化简求值 !例 # " ! 若 % % *& % $ ( , ! %*&$ ( % !则 %#& 的值 为 " !! # !"* ( % !!!!!!! '" ( % )"( +"% !解析" ! 把 % % *& % 因式分解就可以作出判断 ! 因为 % % *& % $ ( , !所以% *& &% #& & $ ( , !又因为 % *&$ ( % !所以 %#&$ ( % !故答案为 '" !方法规律总结" ! 本题考查了因式分解中的平 方差公式以及数学中整体代入的思想 ! 条件中涉及 % % *& % $ %*& $ %#& #应联想到平方差公式#用整体的 思想即可以求出 %#& 的值 ! !例 $ " ! 先化简!再求值) %& % # " %#& #" %*& # * " %*& # % !其中 %$*& ! &$ ( % ! !分析" ! 先用平方差公式和完全平方公式计算% #& &% *& &和% *& & % !再合并同类项!最后代入求值 ! !解答" ! 原式 $%& % #% % *& % *% % #%%&*& % $%%&! 当 %$*& ! &$ ( % 时!原式 $%6 " *& # 6 ( % $*&! !方法规律总结" ! 本题考查整式的四则运算 ! 熟练应用乘法公式#掌握运算顺序和整式乘法公式 是解题的关键 ! 平方差公式'! %#& "! %*& " $% % *& % ( 完全平方公式'! %*& " % $% % *%%&#& % ! 考点 # ! 整式乘法与因式分解的应用 !例 % " ! 试说明) & %-- *,6& (55 #(-6& (5.是 0 的 倍数 ! !解析" ! & %-- *,6& (55 #(-6& (5. $& (5. 6 % & % *,6&#(- & #$ ! $& (5. 60 ! 所以原式是 0 的倍数 ! !方法规律总结" ! 要说明一个式子是一个数的 倍数#常利用因式分解#将其分解成含这个数的因 式 ! !例 & " ! 如图!某校有一块长为" &%#& #米!宽为 " %%#& #米的长方形地块!学校计划将阴影部分进行 绿化!中间将修建一座雕像 ! " ( #用含 % ! & 的代数式表示绿化面积* " % #求出当