专题1.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵直线l⊥AB， ∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 【知识点2】线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 解答：点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 【知识点3】尺规作图——作线段垂直平分线 如图所示，已知线段AB，作其垂直平分线 步骤如下： （1）分别以AB为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点C、D， （2）作直线CD，则CD为所求 【考点一】角平分线➼➻角平分线性质证明角相等 【例1】如图，在△ABC中,BC=5，AC=8,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则△BCE的周长等于（    ） A．18 B．15 C．13 D．12 【答案】C 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论． 解：在中，，，是线段的垂直平分线， ， 的周长． 故选C． 【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【举一反三】 【变式】点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC (  )的交点. A．三条高 B．三条角平分线 C．三条中线 D．三边的垂直平分线 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线性质判断即可． 解：因为点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P应是△ABC的三条边垂直平分线的交点． 故选D． 【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键． 【考点二】全等图形➼➻求正方形网格中的角度之和 【例2】如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）   A．80° B．85° C．90° D．105° 【答案】C 【分析】根据条件求出AB=AC，转化角度即可解答. 解：已知在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE， 故CE=CA=AB， ∠ACB=∠ABC=∠CEA+∠CAE=60°， 故∠CAB=60°， 即∠BAE=∠CAB+∠CAE=60+30°=90°. 故选C. 【点拨】本题考查角度转换，关键是了解角平分线的知识. 【举一反三】 【变式】如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为（     ） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数． 解：由作法得MN垂直平分AC， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠B=180°-75°-30°=75°． 故选A． 【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【考点三】全等图形➼➻把全等图形分割成几个全等图形 【例3】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1) 求证：BE＝CG； (2) 判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见分析；(2)BE+CF＞EF，见分析 【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG； （2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，