专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】角平分线的性质 1.性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：∵ DC平分∠ADB 又∵ PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F， ∴ PE=PF 特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件 【知识点2】角平分线的判定 1.判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 2.几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F， 又∵PE=PF ∴DC平分∠ADB , 即点P在∠ADB的平分线上。 【知识点3】尺规作图——作角平分线 作角平分线的方法与步骤：如右图所示 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）作射线OC. ∴射线OC即为所求. 【知识点4】三角形的内心 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心， 三角形内心到这个三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【考点一】角平分线➼➻角平分线性质证明角相等 【例1】如图，，是的中点，平分，求证：平分．    【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得． 解：证明：如图：过点作，垂足为， 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又， ， ，， 平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【点拨】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论． 解：连接PQ， 当PQ⊥OM时， ∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON， ∴PQ=PA， 此时点P到OM的距离PQ最小， ∴PA≤PQ， 故选：D． 【点拨】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键． 【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__． 【答案】 48°， 24°， 96°× 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算． 解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC， 而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠A1＝96°， ∴∠A1＝48°， 同理可得∠A1＝2∠A2， 即∠A＝2×2∠A2＝96°， ∴∠A2＝24°， ∴∠A＝2n， ∴ ． 故答案为48°，24°，96°×． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 【考点二】角平分线➼➻角平分线性质定理 【例2】如图，在中，平分，平分，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平分，平分得，，根据，得，，根据三角形内角和定理即可得； （2）过点作于点，根据平分，，得，根据得，即可得． （1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，； （2）解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 【举一反三】 【变式1】如图，分别平分于点D，，的面积为12，则的周长为（    ）    A．4 B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 解：过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，    ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的面积的面积