专题1.10 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.10 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 【知识点2】判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 特别指出： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【考点一】全等三角形➼➻斜边、直角边定理的理解 【例1】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（    ） A．有两条直角边对应相等 B．有一条斜边和一个锐角对应相等 C．有一条直角边和一条斜边对应相等 D．有两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 解：A、符合判定，故本选项不符合题意； B、符合判定或，故本选项不符合题意； C、符合判定，故本选项不符合题意． D、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：，，，，． 【举一反三】 【变式1】给出下列四组条件： ① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E； ③ ∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F； ④ AB＝DE，AC＝DF，． 其中，能确定△ ABC和△ DEF全等的条件共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法：结合选项进行判定 解：① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定 ② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E，不能判断 ③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F，不能判断 ④ AB＝DE，AC＝DF，，可根据判断 所以能确定的条件有2组 故选：B 【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式2】如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______． 【答案】6或12/12或6 【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合． 解：①当时， ∵， 在与中， ∴， ∴； ②当P运动到与C点重合时，， 在与中， ∴， ∴， ∴当点P与点C重合时，才能和全等， 综上所述，或12， 故答案为：6或12． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解． 【考点二】全等三角形➼➻用斜边、直角边定理证明三角形全等 【例2】如图，，，垂足分别为C、B，，求证：． 【分析】利用证明即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点拨】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，熟练掌握证明三角形全等是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且． (1) 求证：； (2) 若，求的度数． 【答案】(1)见分析； (2) 【分析】（1）直接依据直角三角形全等判定定理“斜边直角边”判定即可； （2）关键第（1）问结论可知为等腰直角三角形，故可求即可． （1）解： 在和中 （2）， 【点拨】本题考查了直角三角形的全等判定，及全等三角形的性质，关键是掌握全等判定的条件运用，灵活运用全等三角形的性质定理进行计算． 【变式2】如图，相交于点． (1) 求证：； (2) 若，求的大小． 【答案】(1)证明见分析； (2)． 【分析】（1）根据证明； （2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴（）； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形