(练习)7 微阶段指导(五) 角的平分线的性质-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

微阶段指导(五) (范围：角的平分线的性质) 知识链接 知识速练 一、角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE. 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值是(　A　) A．2 　　　　 B．3 C．4 D．不能确定 二、角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如上图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴OP平分∠AOB. 2．如图，∠AOB＝50°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DOC＝ 25° . 　[时间：60分钟　满分：100分] 一、选择题(每小题3分，共18分) 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若BC＝10 cm，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是(　C　) 第1题图 A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 解析：∵BC＝10 cm，BD∶CD＝3∶2，∴CD＝×10＝4(cm)． ∵AD是角平分线，∴点D到AB的距离等于CD的长，即点D到AB的距离为4 cm. 2．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是(　D　) 第2题图 A．3 B．4 C．5 D．6 解析：如图，作DE⊥OB于点E. ∵OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DE⊥OB， ∴DE＝DP＝4， ∴S△ODQ＝×3×4＝6. 3．如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10，AC＝6，则BE＝(　A　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC. 在Rt△ADE和Rt△ADC中， ∴Rt△ADE≌△ADC(HL)， ∴AE＝AC＝6， ∴BE＝AB－AE＝10－6＝4. 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为(　A　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝2. ∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， ∴×2×4＋×2×AC＝7， ∴AC＝3. 5．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为(　D　) A．3 B．5 C．5或7 D．3或7 解析：如图，过点P作PE⊥OA于点E. ∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB， ∴PE＝PN. ∵PE＝PN，OP＝OP， ∴△OPE≌△OPN(HL)， ∴OE＝ON＝5. ∵OM＝3，ON＝5，∴MN＝2. 若点D在线段OE上， ∵PM＝PD，PE＝PN， ∴△PMN≌△PDE(HL)， ∴DE＝MN＝2， ∴OD＝OE－DE＝3； 若点D(即图中点D′)在射线EA上， ∵PM＝PD′，PE＝PN， ∴△PMN≌△PD′E(HL)， ∴D′E＝MN＝2， ∴OD′＝OE＋D′E＝7. 综上所述，OD的长度为3或7. 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤S△BDE∶S△ACD＝BD∶AC.其中正确的有(　C　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：已知在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， 所以CD＝ED，故①正确；由“HL”可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB，故②正确；因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等可知∠BDE＝∠BAC，故③正确；因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE，故④错误；因为CD＝ED，△BDE和△ACD的高相等，所以S△BDE∶S△ACD＝BE∶AC，故⑤错误．综上，①②③正确，共有3个． 二、填空题(每小题3分，共12分) 7．如图，∠C＝90°，BC＝AB，BD为∠ABC的平分线，则S△ABD∶S△CBD＝ 2∶1 . 8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ACD＝5，DE＝2，则AC的长是 5 . 解析：如图，过点D作DF⊥AC于点F. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2. ∵S△ACD＝5，即AC·DF＝5，∴AC＝5. 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝9，