(练习)课后素养评价14 角的平分线的性质-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A，B，若PA＝3，则PB＝(　D　) A．1.5　　　 B．2 C．2.5 D．3 2．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　C　) A．PQ为∠APB的平分线 B．PA＝PB C．点A，B到PQ的距离不相等 D．∠APQ＝∠BPQ 解析：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确．∵PQ是∠APB的平分线，PA＝PB，由三角形全等可得点A，B到PQ的距离相等，故C错误． 3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　A　) A．点M B．点N C．点P D．点Q 解析：观察图形可知点M在∠AOB的平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等． 4．点P在∠AOB的平分线上，点P到边OA的距离等于m，点Q是边OB上的一个动点，则PQ与m的大小关系是(　D　) A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m 解析：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到边OA的距离等于m，∴点P到边OB的距离等于m.∵点Q是边OB上的一个动点，∴PQ≥m. 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是 15 . 解析：过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知CP是∠ACB的平分线． ∵∠B＝90°，BD＝3，∴DQ＝BD＝3. ∵AC＝10，∴S△ACD＝AC·DQ＝×10×3＝15. 6．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，求∠BOC的度数． 解：∵点O到三角形三边距离相等， ∴点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB. ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠BOC＝180°－70°＝110°. 7．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有(　D　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 解析：∵要求油库到三条公路的距离相等，∴油库应建在角平分线的交点处．如图所示． 8．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为 6 . 解析：如图，作PF⊥AD于点F，PG⊥BC于点G. ∵AP是∠BAD的平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，∴PF＝PE＝3. ∵BP是∠ABC的平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，∴PG＝PE＝3， ∴两平行线AD与BC间的距离为PF＋PG＝6. 9．如图，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积． 解：如图，连接OA，过O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OE＝OF＝OD＝3. ∵△ABC的周长是20， ∴S△ABC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×(AB＋BC＋AC)×3＝×20×3＝30. 10．在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E，F分别在AB，BC上，且DE＝DF．试判断∠BED与∠BFD的关系并证明． 下面是小明的判断与证明： 解：∠BED＝∠BFD. 证明：如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M，N， ∴△DEM和△DFN是直角三角形． ∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC， ∴DM＝DN. 在Rt△DEM与Rt△DFN中， ∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)， ∴∠MED＝∠NFD， ∴∠BED＝∠BFD． 数学老师认为小明的判断不完整，请你认真思考给出完整的判断并证明． 解：∠BED＝∠BFD 或∠BED＋∠BFD＝180°. 证明：过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M，N，需分情况讨论： ①当DE与DF同侧时，如图1， ∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC， ∴DM＝DN， 在Rt△DEM与Rt△DFN中， ∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)， ∴∠MED＝∠NFD， ∴∠BED＝∠BFD. ②当DE与DF不同侧时，如图2， 同理可证Rt△DEM≌Rt△DFN， ∴∠MED＝∠NFD. 又∵∠BED＋∠MED＝180°， ∴∠BED＋∠BFD＝180°. 综上所述，∠BED和∠BFD的关系为∠BED＝∠BFD或∠BED＋∠BFD＝180°. 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $