(教参)第15章 15.3 阶段任务性复习 分式方程的解法-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

分式方程的解法 问题：完成下面的1～4题，体会解分式方程的方法． 1．分式方程＋1＝的解是(　D　) A．x＝1　 B．x＝－2　 C．x＝ D．x＝2 解析：去分母，得x＋x－1＝3，解得x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的解． 2．方程＝的解是x＝　－3　. 解析：方程两边乘(2x＋1)(x－2)，得 x－2＝2x＋1，解得x＝－3， 经检验，x＝－3是原方程的解， ∴原分式方程的解是x＝－3. 3．解方程：－＝. 解：∵－＝， ∴＝， ∴6x－3－4x－2＝x＋1， 解得x＝6. 经检验，x＝6是原分式方程的解． 4．解方程：－＝. 解：设3x－1＝y， 则原方程可化为－＝， 化简得3y－2＝5， 解得y＝， 经检验，y＝是分式方程－＝的解， ∴3x－1＝，解得x＝. 经检验，x＝是原分式方程的解. 解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程求解，但在一些具体方程中，若用去分母法，未知数的次数会增大，使运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程． 方法1　去分母法 去分母法是解分式方程最常用的方法，分式方程中各项的分母不统一时，可以通过去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程即可得到原分式方程的解，使用去分母法时需要注意各项的分母不为零． 【例1】解方程：－1＝. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验后即可得到分式方程的解． 解：去分母，得5x－8－(x2－9)＝(3－x)·(x－3)， 去括号，得5x－8－x2＋9＝－x2＋6x－9， 移项、合并同类项，得－x＝－10， 解得x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解． 【练习】 解方程： (1)－1＝； (2)＝1－. 解：(1)去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3， 去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0， ∴原分式方程无解． (2)去分母，得2x＝x－2＋1， 解得x＝－1， 经检验，x＝－1是原分式方程的解． 方法2　比例法 形如“＝”的形式，可根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，化成“ac＝bd”的形式而求解． 【例2】解方程：＝. 【分析】根据比例的基本性质把分式方程化成一元一次方程求解即可． 解：原方程化为 (2－3x)(2x＋2)＝(3－2x)(3x－1)， 整理，得13x＝7， 解得x＝. 经检验，x＝是原分式方程的解． 【练习】 解方程：＝. 解：原方程化为2(x＋3)＝3(x－3)， 去括号，得2x＋6＝3x－9， 解得x＝15. 检验：当x＝15时，(x＋3)(x－3)≠0， ∴原分式方程的解为x＝15. 方法3　换元法 用换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 【例3】解方程：＝－. 【分析】设＝y，则原方程化为y＝＋2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．注意结果需检验． 解：设＝y， 则原方程化为y＝＋2y，解得y＝－. 当y＝－时，有＝－， 解得x＝－. 经检验，x＝－是原分式方程的解． ∴原分式方程的解是x＝－. 【练习】 解方程：－＝0. 解：设＝A，则原方程变形为A－＝0. 整理，得A2＝4. 解得A＝±2. 经检验，A＝±2都是分式方程A－＝0的解． 当A＝2时，＝2，解得y＝－7. 当A＝－2时，＝－2，解得y＝－. 经检验，y＝－7，y＝－都是原分式方程的解． 方法4　拆项法 拆项法又叫裂项法，一般通过拆项、添项使分母中的多项式能分组进行因式分解，化简后再去分母；或者各个分式分别拆项，正负抵消一部分，再化简计算． 【例4】解方程：＋＋＝1. 【分析】本题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷． 解：原方程拆项，变形为 ＋－＝1. 裂项为＋＋－＝1， 化简，得＝1，解得x＝1. 经检验，x＝1是原分式方程的解． 【练习】 观察发现：＝1－；＝－；＝－…… 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：＋＋＋…＋； (2)灵活利用规律解方程：＋＋…＋＝. 解：(1)由题意，得＝－. ∴＋＋＋…＋ ＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－ ＝. (2)∵＝， ∴＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝ ＝ ＝. ∴＝. ∴x＝50. 经检验，当x＝50时，最简公分母不等于0. ∴x＝50是原分式方程的解． 方法5　局部通分法 局部通分法的目的是将方程通过配凑使等号两边的分子或分母相等，从而达到化简运算的目的． 【例5】解方程：－＝－. 【分析】该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及