专题05 分式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题05 分式 【考点01分式有意义的条件】 【考点02 分式的基本性质】 【考点03 分式化简求值】 【考点04 解分式方程】 【考点05 分式方程的解及增根问题】 【考点06 分式方程的实际应用】 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点3：分数的混合运算 （1）同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. （2）异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. （3）分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【考点01分式有意义的条件】 【典例1】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 解得， 故选：D． 【变式1-1】分式的值是零，则x的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0、含绝对值的方程，熟练掌握分式的值为0及有意义的条件是解题关键．根据分式的值为0及有意义的条件判断即可． 【详解】解：∵分式的值是零， ∴且， 解得， 故选：C． 【变式1-2】若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，则分母不为零，据此求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故选：C． 【变式1-3】分式有意义，x满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【考点02 分式的基本性质】 【典例2】将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据题意把与的值同时扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可． 【详解】解：分式中与的值同时扩大为原来的2倍，得 即缩小为原来的， 故选：B． 【变式2-1】下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．根据最简分式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 【变式2-3】分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 【考点03 分式化简求值】 【典例3】先化简：，然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先按照分式的运算顺序：先计算除法，再计算减法，得到化简结果，根据分式有意义的条件选取适当的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 由题意知，，， ∴，， ∴在3，2，和四个数中，a只能取， 当时，原式． 【变式3-1】先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 根据分式的混合计算法则化简后再代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式3-2】先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点04 解分式方程】 【典例4】解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解； （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得： 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【变式4-1】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键． （1）先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可； （2）先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）方程两边同乘以，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式4-2】解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，注意验根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同乘以最简公分母，得，再解方程，即可作答． （2）方程两边同乘以最简公分母，得，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴去分母得． ∴去括号，得． 则移项、合并同类项，得． ∴系数化为1，得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． （2）解：∵ ∴去分母得． ∴去括号，得． ∴移项、合并同类项，得． ∴系数化为1，得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 【变式4-3】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程首先要去分母把分式方程化为整式方程，求出根以后还要把求出的根代入原分式方程的最简公分母检验是否增根． 首先去分母把分式方程化为整式方程得到：，解整式方程可得：，再把代入最简公分母，检验是否增根； 首先去分母把分式方程化为整式方程得到：，解整式方程可得：，再把代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入可得：， 是原分式方程的根． 【考点05 分式方程的解及增根问题】 【典例5】若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到是增根，即可解答． 【详解】解：解方程， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． x的系数化为1， 得． ∵关于的分式方程有增根， ， ． 【变式5-1】已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 【变式5-2】已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是多少？ 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母得到整式方程，再由整式方程的解为负数得到，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到，即且，然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围． 【详解】解：去分母得， 整理得， 因为方程的解为负数， 所以且，即且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 【变式5-3】若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴ ∴． 【考点06 分式方程的实际应用】 【典例6】“元旦”期间，某电商想购进、两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍． (1)求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进、两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？ 【答案】(1)每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元 (2)种商品至少购进30件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意列出方程并求解，之后检验，即可获得答案； （2）设购进商品件，则购进商品件，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元； （2）解：设购进商品件，则购进商品件， 由题意，可得 ， 解得 ， 答：种商品至少购进30件． 【变式6-1】某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元． (1)求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？ (2)由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？ 【答案】(1)购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元； (2)该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意正确解方程，不等式组是解题的关键． （1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要元，根据题意列出方程计算即可． （2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本个，根据题意列出不等式组计算即可． 【详解】（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元． （2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本个， 依题意，得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴， ∴该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个． 【变式6-2】三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等. (1)求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？ (2)甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？ 【答案】(1)甲工程队每天植树80棵，乙工程队每天植树60棵 (2)甲工程队至少植树5天可以完成任务 【分析】本题考查了解分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到数量关系列出方程与不等式是关键； （1）设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵，根据丙队的时间相等列出分式方程，求解即可，注意检验； （2）设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天，根据：植树任务不少于1160棵，列出不等式并解之即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵， 由题意得：， 解得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际， 则甲工程队每天植树（棵）； 答：甲、乙两工程队每天各植树80棵、60棵； （2）解：设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队至少植树5天可以完成任务． 【变式6-3】某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元． （1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？ （2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆 ①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？ 【答案】（1）45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）①方案1的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆 【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可； （2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用； ②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论． 【详解】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元， 则：2（x+100）+5x=1600， 解得：x=200， ∴x+100=300， 答：45座的客车每辆每天的租金为200元， 60座的客车每辆每天的租金为300元； （2）设参会人员为y人， 由题意得：， 解得：y=240， ①方案1的费用：（240+30）÷45×200=1200（元）， 方案2的费用：240÷60×300=1200（元）， ②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下： 共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆， 费用：4×200+300=1100（元）＜1200元， ∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键． 一、单选题 1．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值．根据，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 根据最简分式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意； B、，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、，不是最简分式，故此选项不符合题意； D、，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．若把分式中的x，y同时扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后计算变形，再与原式比较，最终得出结论． 把x，y分别换为，约分得到结果，即可作出判断． 【详解】解：将原式中x，y分别换为10x，10y， 得： ∴分式的值扩大为原来的10倍， 故选：A． 4．在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为元， 根据题意，得． 故选：D． 5．若关于x的方程有增根，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边都乘以：得：， ∵分式方程有增根， 即 将代入整式方程，得：即 故选：D． 二、填空题 6．分式的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是要能根据最简公分母的概念求出几个分式的最简公分母．根据最简公分母的概念，即可求出答案． 【详解】解：分式的最简公分母是：． 故答案为：． 7．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质、求分式的值，将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．已知，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，利用整体代入的方法是解决问题的关键． 把已知等式两边除以m得到，再利用完全平方公式得出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：11． 9．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，负整数指数幂，熟练掌握单项式除以单项式以及负整数指数幂的法则是解题的关键． 根据单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．定义运算“※”：若，则的值为 ． 【答案】或10 【分析】本题考查解分式方程，根据新定义，分两种情况，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解． 综上所述，或10． 故答案为：或10． 11．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的运算和分式方程的解法，掌握相关法则是解题的关键． 根据相关法则化简计算即可． 【详解】解：(1)原式 ． (2)去分母，得：， 解得：， 检验：当时， ， ∴分式方程的解为． 14．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则化简整式，然后再代入求值即可． （2）把除法转化成乘法，利用平方差公式先进行分式的乘法运算，再进行加减运算，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 （2）解： ， 当时， 原式 15．为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； (2)最多购买了A文具30件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式 【考点01分式有意义的条件】 【考点02 分式的基本性质】 【考点03 分式化简求值】 【考点04 解分式方程】 【考点05 分式方程的解及增根问题】 【考点06 分式方程的实际应用】 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点2：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点3：分数的混合运算 （1）同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. （2）异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. （3）分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【考点01分式有意义的条件】 【典例1】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】分式的值是零，则x的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【变式1-2】若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】分式有意义，x满足（    ） A． B． C． D． 【考点02 分式的基本性质】 【典例2】将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 【变式2-1】下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【考点03 分式化简求值】 【典例3】先化简：，然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值． 【变式3-1】先化简再求值：，其中． 【变式3-2】先化简，再代入求值：，其中． 【考点04 解分式方程】 【典例4】解分式方程 (1)； (2)． 【变式4-1】解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式4-2】解下列分式方程： (1) (2) 【变式4-3】解下列分式方程： (1)； (2)． 【考点05 分式方程的解及增根问题】 【典例5】若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【变式5-1】已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【变式5-2】已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是多少？ 【变式5-3】若关于的分式方程有增根，求的值． 【考点06 分式方程的实际应用】 【典例6】“元旦”期间，某电商想购进、两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍． (1)求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进、两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？ 【变式6-1】某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元． (1)求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？ (2)由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？ 【变式6-2】三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等. (1)求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？ (2)甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？ 【变式6-3】某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元． （1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？ （2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆 ①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？ 一、单选题 1．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．若把分式中的x，y同时扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．缩小为原来的 4．在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程有增根，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 二、填空题 6．分式的最简公分母为 ． 7．若，则的值为 ． 8．已知，则的值为 ． 9．计算的结果是 ． 10．定义运算“※”：若，则的值为 ． 11．已知，且，则的值为 ． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 13．（1）计算：； （2）解分式方程：． 14．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 15．为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$