(教参)第15章 15.2 阶段任务性复习 分式运算综合运用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

分式运算综合运用 问题：完成下面的1～4题，体会分式运算的综合运用． 1．化简：÷. 解：÷ ＝÷ ＝·＝x＋1. 2．先化简，再求值：·－，其中x＝2. 解：·－ ＝·－ ＝－＝. 当x＝2时，原式＝＝2. 3．先化简÷，再从－1，0,1， 2中选出一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式＝÷ ＝·＝. ∵a≠－1,0,1， ∴当a＝2时，原式＝＝. 4．已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a，b是正数，且a≠b)，请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． 解：∵a，b是正数，且a≠b， ∴－＝＝＞0， ∴＞， ∴小丽所购买商品的平均价格高，小颖所购买商品的平均价格低． 运用1　分式的化简 【例1】计算：÷. 【分析】先计算小括号内的式子，将除法转化为乘法，然后约分即可． 解：÷ ＝· ＝· ＝· ＝x－2. 【练习】 计算：·. 解：原式＝· ＝· ＝. 运用2　化简后直接代入求值 【例2】先化简，再求值：÷－(x－2y)(x＋y)，其中x＝－1，y＝2. 【分析】先将原式根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x，y的值代入计算即可． 解：原式＝÷－(x2＋xy－2xy－2y2) ＝·(x＋y)－x2＋xy＋2y2 ＝－xy－x2＋xy＋2y2 ＝－x2＋2y2. 当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋2×22＝－1＋8＝7. 【练习】 先化简，再求值：÷，其中x＝. 解：原式＝·(x－3)2 ＝·(x－3)2 ＝x－3. 当x＝时，原式＝－3＝－. 运用3　化简后整体代入求值 【例3】先化简，再求值：÷，其中a满足a2＋2a－3＝0. 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将最后结果变形为2(a2＋2a)，再由已知等式变形得出a2＋2a＝3，继而代入计算即可． 解：原式＝÷ ＝· ＝· ＝2a(a＋2) ＝2a2＋4a. ∵a2＋2a－3＝0， ∴a2＋2a＝3， 则原式＝2(a2＋2a)＝2×3＝6. 【练习】 先化简，再求值：÷，其中x满足x2－2x－2＝0. 解：原式＝ ÷ ＝·＝. ∵x2－2x－2＝0， ∴x2＝2x＋2＝2(x＋1)， 则原式＝＝. 运用4　化简后选择性代入求值 【例4】先化简÷，再从2,3,4,5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 解：原式＝÷ ＝· ＝· ＝a＋3. ∵a≠2,3，∴可以取a＝4或a＝5， 当a＝4时，原式＝7. 【练习】 先化简·，再从1,2,3中选取一个适当的数作为x的值代入求值． 解：· ＝· ＝·＝. ∵x≠1且x≠3， ∴只能取x＝2. 当x＝2时，原式＝＝－2. 运用5　化简后从不等式(组)的解集选择代入求值 【例5】先化简，再求值：÷，其中x为整数且满足不等式组 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则可以化简题目中的式子，由x为整数且满足不等式组可以求得x的值，从而解答本题． 解：÷ ＝÷ ＝· ＝. 由得2＜x≤3. ∵x是整数， ∴x＝3， ∴原式＝＝. 【练习】 1．先化简÷，然后从不等式2x－6＜0的非负整数解中选取一个合适的解作为x的值代入求值． 解：原式＝·＝·＝. 由不等式2x－6＜0，得x＜3， ∴不等式2x－6＜0的非负整数解为x＝0,1,2. ∵x≠1且x≠2， ∴只能取x＝0. 当x＝0时，原式＝2. 2．先化简÷，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值作为x的值代入求值． 解：原式＝·－· ＝3(x＋1)－(x－1) ＝2x＋4. 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞－3， 故不等式组的解集为－3＜x≤1， 故不等式组的整数解为x＝－2，－1,0,1. ∵x≠±1且x≠0， ∴只能取x＝－2. 当x＝－2时，原式＝0. 运用6　通分后对应系数求值 【例6】若＝－(a，b为常数)，求(a＋2b)b的值． 【分析】将所给的等式右边通分、合并，然后可列出关于a，b的方程组，即可求出a，b的值，再代入所求式子中求值即可． 解：－＝ ＝. ∵＝－， ∴ 解得 ∴(a＋2b)b＝[1＋2×(－2)]－2＝(－3)－2＝. 【练习】 已知＝＋，求A，B的值． 解：∵＋＝， ∴＝， ∴解得 运用7　取倒数后整体代入求值 【例7】阅读下面的解题过程： 已知＝，求的值． 解：由＝知x≠0， ∴＝3，即x＋＝3， ∴＝x2＋＝－2＝32－2＝7， ∴＝. 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知＝，求的值． 【分析】法1：仿照题中的方法求解即可； 法2：将已知与所求式子分别变形，计算即可求解． 解：法1：由＝， 得＝6，即x＋＝3， ∴＝x2－1＋＝－3＝9－3＝6，