(教参)第13章 13.3 课时3-4 等边三角形-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

课时3　等边三角形 学习目标 1．掌握等边三角形的定义和性质. 2．熟练掌握等边三角形的判定方法. 素养目标 让学生感受等边三角形的对称性，经历等边三角形的证明和性质的应用过程，培养学生逻辑推理的核心素养. 一、 等边三角形的定义 三边都相等 的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 二、等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都 相等 ； (2)等边三角形的三个内角都 相等 ，并且每一个内角都等于 60° ； (3)等边三角形是 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的 垂直平分线 ； (4)等边三角形各边上的 高 、 中线 、 对应的角平分线 重合． 1．已知等边三角形ABC的边长是6，则它的周长是(　C　) A．6　　 B．12 C．18 D．3 2．在等边三角形ABC中，已知边BC上的中线AD＝16，则∠BAC的平分线长为(　C　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：根据等边三角形“三线合一”可知，AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长． 三、等边三角形的判定 (1)定义：三条边 都相等 的三角形是等边三角形； (2)三个角 都相等 的三角形是等边三角形； (3)有一个角是 60° 的 等腰三角形 是等边三角形． 1．已知，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长是(　A　) A．9 B．8 C．6 D．12 解析：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． 又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA＝3，∴△ABC的周长为9. 2．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，适当长为半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以点A为圆心，OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状是 等边三角形 ． 解析：∵以直角顶点O为圆心，适当长为半径画一条弧交直角两边于A，B两点，∴OA＝OC.∵以点A为圆心，OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC是等边三角形. 　等边三角形性质的应用 如图，点M，N分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q. 探究1: 判断△ABM与△BCN是否全等，并说明理由； 解：全等．理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°. 在△ABM与△BCN中， ∴△ABM≌△BCN(SAS)． 探究2: 求∠BQM的度数； 解：∵△ABM≌△BCN， ∴∠CBN＝∠BAM， ∴∠BQM＝∠BAM＋∠ABQ＝∠CBN＋∠ABQ＝∠ABC＝60°. 探究3: 如图，若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM＝CN，是否能得到∠BQM＝60°？请说明理由． 解：能得到∠BQM＝60°.理由如下： 同探究1可证△ABM≌△BCN(SAS)， ∴∠M＝∠N. ∵∠QAN＝∠CAM，∠BQM＝∠N＋∠QAN，∠ACB＝∠M＋∠CAM， ∴∠BQM＝∠ACB＝60°. 1．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由． 解：AE∥BC.理由如下： ∵△ABC与△CDE为等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴∠B＝∠EAC. ∵∠B＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC. 2．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过边BC上一点P，作∠DPE＝60°，且分别与边AB，AC相交于点D，E. (1)在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由； (2)若△PDE为等边三角形，求BD＋CE的值． 解：(1)∠BDP与∠EPC始终相等．理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°. ∵∠DPE＝60°， ∴∠DPE＝∠B. ∵∠DPC是△BDP的外角， ∴∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠BDP， ∴∠EPC＝∠BDP. ∴∠BDP与∠EPC始终相等． (2)∵△PDE和△ABC均为等边三角形， ∴PD＝PE，∠B＝∠C. 在△BDP和△CPE中， ∴△BDP≌△CPE(AAS)， ∴BD＝CP，BP＝CE， ∴BD＋CE＝CP＋BP＝BC＝8. 　等边三角形判定的应用 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE. 探究1: △ABC是等边三角形吗？请说明理由． 解：△ABC是等边三角形．理由如下： ∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE， ∴∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2