(教参)第13章 13.3 阶段任务性复习 等腰三角形的综合应用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

等腰三角形的综合应用 问题：完成下面的1～4题，思考如何构造等腰三角形解决问题． 1．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形一定是(　B　) A．直角三角形　　 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：如图，∵CD平分∠ACE，且AB∥CD， ∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE， ∴∠B＝∠A，∴△ABC为等腰三角形． 2．如图，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是(　A　) A．7 B．6　 C．5 D．4 解析：根据题中条件，结合图形可得△ABC，△AOB，△AOC，△BOD，△DOE，△COE，△BOC均为等腰三角形，共7个． 3．在△ABC中，∠BAC的平分线交边BC于点D，AC＝AB＋BD，∠C＝30°，则∠B的度数为(　C　) A．90° B．75° C．60° D．45° 解析：利用三角形全等的性质计算．根据已知条件中，两条线段的和等于另一条线段，可以采用延长短线段或在长线段上截取的方法．综合运用全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质． 4．如图，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，且∠ABD＝2∠C，若AB＝10，BC＝15，BD＝8. (1)求证：AB＝AD； (2)求△ABC的周长． (1)证明：∵AN平分∠BAC，AN⊥BD， ∴△ABD为等腰三角形， ∴AB＝AD. (2)解：∵AB＝AD＝10， ∴∠ADB＝∠ABD＝2∠C， ∴∠DBC＝∠ADB－∠C＝∠C， ∴CD＝BD＝8， ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BC＋AD＋CD＝10＋15＋10＋8＝43. 方法1　利用“角平分线＋平行线” 构造等腰三角形 (1)过角平分线上一点作角的一边的平行线，可构造等腰三角形． 应用模型：如图，OC平分∠AOB，AC∥OB，则有∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴△OAC 是等腰三角形． (2)过角的一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，可构造等腰三角形． 应用模型：如图，OC平分∠AOB，OC∥DE，则有∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠3＝∠2， ∴∠3＝∠4.∴△ODE是等腰三角形． 【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E，F分别在BD，AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB. 证明：如图，过点E作AC的平行线交AD的延长线于点G，则EG∥AC，则∠DCA＝∠DEG. 在△DEG和△DCA中， ∴△DEG≌△DCA(ASA)， ∴EG＝AC，∠G＝∠CAD. 又EF＝AC，∴EG＝EF.∴∠G＝∠EFD. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB. 【练习】 1．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠OPE＝75°，如果PE＝6 cm，求OD的长． 解：如图，过点P作PF⊥OB于点F， ∵OC平分∠AOB，PE⊥OA， ∴PF＝PE＝6 cm. ∵PE⊥OA，∠OPE＝75°， ∴在Rt△POE中，∠POE＝15°. ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOB＝2∠POE＝30°. ∵PD∥OA， ∴∠PDF＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠EOP＝15°＝∠DOP， ∴PD＝2PF＝12 cm，DO＝DP， ∴OD＝12 cm. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E. (1)求∠ADB的度数； (2)求证：△ADE是等腰三角形． (1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠BAC)＝72°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠ADB＝∠C＋∠DBC＝72°＋36°＝108°. (2)证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°. ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°－72°－36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 3．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长． (1)证明：∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE. ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． (2)解：∵F是AC的中点， ∴AF＝CF. ∵AE∥BC， ∴∠C＝∠CAE.