(教参)第13章 13.1 课时2-3 线段的垂直平分线的性质-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

课时2　线段的垂直平分线的性质 学习 目标 1．理解线段垂直平分线的概念． 2．理解并证明线段垂直平分线的性质和判定． 3．知道三角形三边的垂直平分线相交于一点. 素养 目标 经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，培养学生直观想象、逻辑推理的核心素养. 一、线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等． 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　B　) A．6　　 　　 B．5 C．4 D．3 2．如图，在△ABC中，AM垂直平分BC，若AB＝12，BM＝10，则△ABC的周长为 44 . 解析：由题意，得AB＝AC＝12，BM＝CM＝10， ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝44. 二、线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点 距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上． 1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是(　C　) A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．NA＝NB，MN⊥AB 解析：当MA＝NA，MB＝NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线． 2．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 . 　线段垂直平分线的性质及其判定 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为5 cm，分别连接OA，OB，OC. 探究1: 求BC的长； 解：∵DM是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB. 同理，EA＝EC， ∵△ADE的周长为5 cm， ∴AD＋DE＋EA＝5 cm， ∴BC＝DB＋DE＋EC＝AD＋DE＋EA＝5 cm. 探究2: 若△OBC的周长为13 cm，求OA的长； 解：∵△OBC的周长为13 cm， ∴OB＋OC＋BC＝13 cm. ∵BC＝5 cm，∴OB＋OC＝8 cm． ∵OM垂直平分AB， ∴OA＝OB. 同理，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝4 cm. 探究3: 点O在BC的垂直平分线上吗？请说明理由． 解：点O在BC的垂直平分线上．理由如下： ∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴AO＝BO，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 1．如图，在△ABC中，直线DE是线段AC的垂直平分线，△ABC的周长为21 cm，△ABD的周长为13 cm，求AE的长． 解：∵直线DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD＝DC，AE＝CE＝AC. ∵△ABC的周长为21 cm， ∴AB＋BC＋AC＝21 cm. ∵△ABD的周长为13 cm， ∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13 cm， ∴AC＝8 cm， ∴AE＝4 cm. 2．如图，已知AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． 解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14 cm， 由题意，得 解得 ∴AB，AC的长分别为8.5 cm,5.5 cm. 知识点1　线段垂直平分线的性质 (1)性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 条件：点在线段的垂直平分线上． 结论：这个点到线段两端点的距离相等． (2)几何语言 如图，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC. (3)线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系：两者都可以直接得到两条线段相等． 区别：前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离． 【考点诠释】 1．线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点间的距离”． 2．用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法． 知识点2　线段垂直平分线的判定 (1)判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 条件：点到线段两个端点的距离相等． 结论：点在线段的垂直平分线上． (2)几何语言 如图，∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上． (3)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等． 【考点诠释】 1．证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点证垂直． 2．证明线段的垂直平分线，必须验证两个点在垂直平分线上． 知识点3　过一点作已知直线的垂线 (1)过