(教参)第11章 11.3 课时2 多边形的内角和-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

课时2　多边形的内角和 学习 目标 1．掌握多边形的内角和公式和外角和定理． 2．灵活运用多边形内角和及外角和定理解决问题. 素养 目标 通过对多边形内角和公式的探究，开拓学生转化的思想，提高学生解决问题的能力，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法. 一、多边形的内角和 n边形内角和等于 (n－2)×180° . 1．四边形的内角和等于(　B　) A．180°　 B．360° C．400° D．540° 2．内角和为540°的多边形是(　C　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 解析：设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5. 3．内角和为1 800°的多边形的边数是(　A　) A．12 B．10 C．14 D．15 解析：设这个多边形的边数为n，(n－2)×180°＝1 800°，解得n＝12. 二、多边形的外角和 多边形的外角和等于 360° . 1．六边形的外角和为(　B　) A．180° B．360° C．540° D．720° 解析：任意多边形的外角和都是360°， 故六边形的外角和为360°. 2．冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．如图是从冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ 360° . 解析：由多边形的外角和等于360°可知， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°. 　利用多边形的内角和确定多加角的度数 阅读佳佳与明明的对话，探索问题： 探究1：“多边形内角和为2 020°”，为什么不可能？ 解：设多边形的边数为n， 则180°×(n－2)＝2 020°， 解得n＝13. ∵多边形的边数为正整数， ∴“多边形的内角和为2 020°”不可能． 探究2：明明求的是几边形的内角和？ 解：设应加的内角为x，多加的外角为y， 依题意可列方程(n－2)×180°＝2 020°－y＋x， ∵－180°＜x－y＜180°， ∴2 020°－180°＜180°×(n－2)＜2 020°＋180°， 解得12＜n＜14. 又n为正整数， ∴n＝13或n＝14. 故明明求的是十三边形或十四边形的内角和． 探究3：错当成内角的那个外角为多少度？ 解：十三边形的内角和为180°×(13－2)＝1 980°， ∴y－x＝2 020°－1 980°＝40°. 又x＋y＝180°， 解得x＝70°，y＝110°. 十四边形的内角和为180°×(14－2)＝2 160°， ∴y－x＝2 020°－2 160°＝－140°， 又x＋y＝180°， 解得x＝160°，y＝20°. 综上，那个外角为110°或20°. 小明在将一个多边形的内角逐个相加时，把其中一个内角多加了一次，错误地得到内角和为840°，则这个多边形的边数是 6 . 解析：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则(n－2)×180°＝840°－α， ∴α＝840°－(n－2)×180°. ∵0°<α<180°， ∴0°<840°－(n－2)×180°<180°， ∴<n－2<. ∵n是正整数， ∴n－2＝4，∴n＝6. ∴这个多边形的边数是6. 　利用多边形的内角和确定角平分线的夹角问题 如图1，P为△ADC内一点，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P＝90°＋∠A. 图1 探究1：如图2，P为四边形ABCD内一点，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并写出你的探索过程； 图2 解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD， ∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD， ∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD ＝180°－∠ADC－∠BCD ＝180°－(∠ADC＋∠BCD) ＝180°－(360°－∠A－∠B) ＝(∠A＋∠B)． 即∠P＝(∠A＋∠B)． 探究2：如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B＋∠E的数量关系，并写出你的探索过程； 图3 解：五边形ABCDE的内角和为(5－2)×180°＝540°. ∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD， ∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD， ∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD ＝180°－∠EDC－∠BCD ＝180°－(∠EDC＋∠BCD) ＝180°－(540°－∠A－∠B－∠E) ＝(∠A＋∠B＋∠E)－90°， 即∠P＝(∠A＋∠B＋∠E)－90°. 探究3：如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系； 图4 解：∠P＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°. 探究4：若P为n边形A1A2