(教参)第11章 11.2 课时3 三角形的外角-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

课时3　三角形的外角 学习目标 1．掌握三角形外角的定义． 2．掌握三角形外角的性质，并能利用三角形外角的性质进行计算. 素养目标 通过对三角形外角的认识，提高学生的观察能力，培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养. 一、三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的 延长线 组成的角，叫做三角形的外角． 二、三角形外角的性质 三角形的外角等于与它 不相邻 的两个内角的和． 1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝(　B　) A．140°　B．130°　C．120°　D．110° 2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，点C处有一灯塔，当轮船从点A行驶到点B时，∠ACB＝ 40° . 3．如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝40°，则∠A＝ 70° . 解析：∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°－40°＝140°.∵CE是△ABC外角的平分线， ∴∠ACE＝∠ACD＝70°. ∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝70°. 　三角形外角性质的应用 在三角形中，由三角形的内角平分线，外角平分线所形成的角存在一定的规律． 探究1：如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，探索∠BPC与∠A的关系，并说明理由； 解：∠BPC＝90°＋∠A.理由如下： ∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB(角平分线的定义)． ∵∠BPC＋∠PBC＋∠PCB＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB) ＝180°－＝180°－(∠ABC＋∠ACB) ＝180°－(180°－∠A) ＝180°－90°＋∠A ＝90°＋∠A. 探究2：如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E.其中∠A＝α，求∠E；(用含α的式子表示∠E) 解：∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线， ∴∠EBD＝∠ABD，∠ECB＝∠ACB. ∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角， ∴∠ABD＝∠A＋∠ACB，∠EBD＝∠ECB＋∠E， ∴∠EBD＝∠ABD＝(∠A＋∠ACB)＝∠E＋∠ECB，即∠A＋∠ECB＝∠ECB＋∠E， ∴∠E＝∠A＝α. 探究3：如图3，∠CBM，∠BCN为△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠Q与∠A的数量关系，并说明理由． 解：∠Q＝90°－∠A.理由如下： ∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角， ∴∠CBM＝∠A＋∠ACB，∠BCN＝∠A＋∠ABC. ∵BQ，CQ分别是∠CBM，∠BCN的平分线， ∴∠QBC＝(∠A＋∠ACB)，∠QCB＝(∠A＋∠ABC)． ∵∠QBC＋∠QCB＋∠Q＝180°， ∴∠Q＝180°－∠QBC－∠QCB， ＝180°－(∠A＋∠ACB)－(∠A＋∠ABC) ＝180°－∠A－(∠A＋∠ABC＋∠ACB) ＝180°－∠A－90°＝90°－∠A. 1．如图，在锐角三角形ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请写出∠A和∠E的数量关系，并说明理由． 解：∠A和∠E的数量关系为∠E＝∠A.理由如下： ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分外角∠ACM， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ECM＝∠ACM， ∴∠E＝∠ECM－∠EBC＝(∠ACM－∠ABC)＝∠A. 2．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C. (1)当A，B移动后，∠BAO＝45°时，求∠C的度数； (2)当A，B移动后，∠BAO＝60°时，求∠C的度数； (3)由(1)(2)猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由． 解：(1)根据三角形外角的性质，得∠ABN＝∠AOB＋∠BAO＝90°＋45°＝135°. ∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO， ∴∠ABE＝∠ABN＝67.5°，∠BAC＝∠BAO＝22.5°， ∴∠C＝∠ABE－∠BAC＝67.5°－22.5°＝45°. (2)根据三角形外角的性质，得∠ABN＝∠AOB＋∠BAO＝90°＋60°＝150°. ∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO， ∴∠ABE＝∠ABN＝75°，∠BAC＝∠BAO＝30°， ∴∠C＝∠ABE－∠BAC＝75°－30°＝45°. (3)∠C不会随A，B的移动而发生变化．理由如下： 根据三角形外角的性质，得∠ABN＝∠AOB＋∠BAO. ∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO， ∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO， ∴∠C＝∠ABE－∠BAC＝(∠AOB＋∠BAO)－∠BAO＝∠AOB. ∵∠MO