专题08 全等三角形中的辅助线（一）-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练 专题八 全等三角形中的辅助线（一） 【专题导航】 目录 【考点一 倍长中线法证全等】......................................1 【考点二 截长补短法证全等】.............................................14 【考点三 整体旋转证全等】................................20 【聚焦考点1】 · 倍长中线辅助线方法规律总结 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD到点E， 使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD 结论： △ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题 · · · · · · 倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型： 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD 结论： △ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定 【典例剖析1】 【典例1-1】（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【典例1-2】已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F． 当BE=CF时，求证：AE=AF． 针对训练1 【变式1-1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE． 【变式1-2】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知图能得到的理由是 ． (2)求得的取值范围是 ． (3)如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：． 【能力提升1】 倍长中线法 【提升1-1】（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长AD到M，使得DM＝AD； ②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中； ③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明． 【提升1-2】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点， 请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之； 【聚焦考点2】 · 截长补短辅助线方法